Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Закон виключеного третього



План:


Введення

Закон виключеного третього ( лат. tertium non datur , Тобто "третього не дано") - закон класичної логіки, що складається в тому, що з двох висловлювань - "А" або "не А" - одне обов'язково є істинним, то є два судження, одне з яких є запереченням іншого, не можуть бути одночасно хибними (або істинними), одне з них необхідно істинно, а інше помилково. Закон виключеного третього є одним з основоположних принципів сучасної математики.

З інтуїционістськой (і, зокрема, конструктивістській) точки зору, встановлення істинності висловлювання виду "А чи не А" означає встановлення істинності A або істинності його заперечення, \ Neg A . Оскільки не існує загального методу, що дозволяє для кожного висловлювання за кінцеве число кроків встановити його істинність або істинність його заперечення, закон виключеного третього піддається критиці з боку представників інтуїционістського і конструктивного напрямків у підставах математики.


1. Формулювання

В математичній логіці закон виключення третього виражається формулою

A \ vee \ neg A = 1,

де \ Vee - Знак диз'юнкції, \ Neg - Знак заперечення.

2. Інші формулювання

Подібний сенс мають інші логічні закони, багато з яких склалися історично. Зокрема, закон подвійного заперечення і закон Пірса еквівалентні закону виключеного третього в интуиционистской логіці. Це означає, що розширення системи аксіом интуиционистской логіки будь-яким з цих трьох законів в будь-якому випадку призводить до класичній логіці. І все ж, у загальному випадку, існують логіки, в яких усі три закони нееквівалентний [1].


3. Приклади

Припустимо, що P є твердження "Сократ смертний". Тоді закон виключеного третього для P прийме вигляд: "Сократ смертний або безсмертний Сократ", звідки ясно, що закон відсікає всі інші варіанти, при яких Сократ і не смертний і не безсмертний. Останнє - це і є те саме "третє", яке виключається.

Набагато більш тонкий приклад застосування закону виключеного третього, який добре демонструє, чому він не є прийнятним з точки зору інтуїціонізму, полягає в наступному. Припустимо, що ми хочемо довести теорему, що є два таких ірраціональних числа a і b, що a b раціонально. Відомо, що \ Sqrt {2} ірраціонально. Розглянемо \ Sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} . Якщо дане число раціонально, то теорема доведена. Інакше візьмемо a = \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} і b = \ sqrt {2} . Тоді

a ^ b = \ left (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} \ right) ^ {\ sqrt {2}} = \ sqrt {2} ^ {\ left (\ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2} \ right)} = \ sqrt {2} ^ 2 = 2,

тобто раціональне число. За законом виключеного третього інших варіантів бути не може. Тому, теорема в загальному випадку доведена. Причому доказ гранично просто і елементарно. З іншого боку, якщо взяти інтуїционістського точку зору і відмовитися від закону виключеного третього, теорема хоча і може бути доведена, але доказ її стає виключно складним.


Примітки

  1. Zena M. Ariola and Hugo Herbelin. Minimal classical logic and control operators. In Thirtieth International Colloquium on Automata, Languages ​​and Programming, ICALP'03, Eindhoven, The Netherlands, June 30 - July 4, 2003, volume 2719 of Lecture Notes in Computer Science, pages 871-885. Springer-Verlag, 2003. [1] - citeseer.ist.psu.edu/ariola03minimal.html

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Війна третього коаліції
Прапор Третього рейху
Холодне літо п'ятдесят третього ...
Список дивізій Третього рейху
Концентраційні табори Третього рейху
Територіально-політична експансія Третього рейху
Тридцять третього Московський міжнародний кінофестиваль
Фракція КПРФ у Державній думі третього скликання
© Усі права захищені
написати до нас