Замкнуте оператор

В функціональному аналізі замкнуті оператори - це деякий важливий клас необмежених операторів, набагато ширший, ніж клас обмежених, тобто безперервних, операторів. Замкнуте оператор не зобов'язаний бути визначений на всьому просторі. Замкнуті оператори володіють достатнім числом хороших властивостей для того, щоб можна було ввести їх спектр, побудувати функціональне числення і (в окремих випадках) повну спектральну теорію. Важливим прикладом замкнутих операторів є похідна і багато диференціальні оператори.

Нехай A \ colon D (A) \ subset X \ to Y - Лінійний оператор між банаховому просторі, визначений на деякому лінійному підпросторі D (A) в X . Він називається замкнутим, якщо його графік замкнутий у X \ oplus Y . Еквівалентно, якщо для будь-якій послідовності x_n \ in D (A) вірно, що x_n \ to x \ in X і A (x_n) \ to y \ in Y , То x \ in D (A) і A (x) = y .

Поняття замкнутого лінійного оператора є узагальненням поняття лінійного неперервного оператора: кожен лінійний неперервний оператор є замкнутим.


Властивості замкнутого лінійного оператора

  • Якщо замкнутий A оператор звернемо, то A ^ {-1} замкнений. Як наслідок, кожен оборотний лінійний неперервний оператор має замкнутий зворотний оператор.
  • Якщо A - Замкнутий лінійний оператор, визначений всюди у банаховому просторі X з значеннями в просторі Y , І існує така позитивна константа c , Що \ | Ax \ | \ le c \ | x \ | для будь-яких x з усюди щільного безлічі, то оператор A обмежений.
  • Теорема Банаха про замкнений графіку. Якщо замкнутий оператор A: X \ to Y визначений на всьому X , То він обмежений.
  • Якщо A \ colon X \ to Y - Замкнутий оператор, (E, \ mathcal {B}, \ mu) - Простір з мірою, і функції x \ colon E \ to X , Ax \ colon E \ to Y сильно вимірних, то A \ int x (t) \ mathrm {d} \ mu (t) = \ int Ax (t) \ mathrm {d} \ mu (Рівність інтегралів Бохнера).

Приклади замкнутих, але необмежених операторів

У прикладах C [0,1] і C [0, \ infty) - простору функцій, неперервних і обмежених відповідно на відрізку [0,1] і луче [0, \ infty)

  • Оператор диференціювання \ Frac {d} {dt}: C [0,1] \ to C [0,1] , З областю визначення - C_1 [0,1] , Зі значеннями в C [0,1] .
  • Оператор множення на координату A: C_0 [0, \ infty) \ to C_0 [0, \ infty)
A (x) = tx (t) .
Область визначення оператора A складається з з функцій, що задовольняють нерівності | X (t) | \ le \ frac {c} {1 + t} , Де c залежить від x (t) .

Література

  • Воровіч І.І., Лебедєв Л.П. Функціональний аналіз та його застосування в механіці суцільного середовища. - М .: Вузівська книга, 2000. - 320 с.
  • Треногін В. А. Функціональний аналіз. - М .: Наука, 1980. - 495 с.