Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Зворотній завдання



План:


Введення

Зворотній завдання - тип завдань, часто виникає у багатьох розділах науки, коли значення параметрів моделі повинні бути отримані з спостережуваних даних.

Приклади обернених задач можна знайти в наступних областях: геофізика, астрономія, медична візуалізація, комп'ютерна томографія, дистанційне зондування Землі, спектральний аналіз та завдання щодо неруйнівного контролю.

Зворотні задачі є некоректно поставленими завданнями. З трьох умов коректно поставленого завдання (існування рішення, єдиність рішення та його стійкість) в зворотних задачах найбільш часто порушується останнє. В функціональному аналізі зворотне завдання представляється у вигляді відображення між метричними просторами. Зворотні завдання зазвичай формулюються у нескінченновимірних просторах, але обмеження на кінцівку вимірювань і доцільність обчислення кінцевого числа невідомих параметрів приводять до зміни завдання в дискретної формі. У цьому випадку використовують метод регуляризації для того, щоб уникнути перенавчання.


1. Лінійна зворотне завдання

Лінійна зворотне завдання може бути описана в наступному вигляді:

\ D = G (m) ,

де G - лінійний оператор, що описує явні відносини між даними і параметрами моделі, і представляє собою фізичну систему. У разі дискретної лінійної оберненої задачі, що описує лінійну систему, d і m є векторами, що дозволяє використовувати наступне представлення задачі:

\ D = Gm ,

де G є матрицею.


1.1. Приклади

Прикладом лінійної оберненої задачі служить інтегральне рівняння Фредгольма першого порядку.

d (x) = \ int \ limits_a ^ b g (x, y) \, m (y) \, dy

Для істотно гладкого g визначений вище оператор є компактним на таких банахових просторах, як Простору L p . Навіть якщо відображення є взаємно однозначним, зворотна функція не буде безперервної. Таким чином, навіть маленькі помилки в даних d будуть сильно збільшені в рішенні m . У цьому відношенні зворотне завдання по визначенню m з виміряних даних d буде некоректною.

Для отримання чисельного рішення необхідно апроксимувати інтеграл за допомогою чисельного інтегрування і дискретних даних. Результуюча система лінійних рівнянь буде некоректно поставленим завданням.

Перетворення Радону також є прикладом лінійної оберненої задачі.


2. Нелінійна зворотне завдання

У нелінійних зворотних завданнях ставляться більш складні відносини між даними і моделлю, що описуються рівнянням:

\ D = G (m).

Тут G являє собою нелінійний оператор, який не може бути приведений до виду лінійного відображення, що переводить m в дані. Лінійні зворотні завдання були повністю вирішені з теоретичної точки зору в кінці XIX століття, з нелінійних до 1970 було вирішене тільки один клас задач - завдання зворотного розсіювання. Істотний внесок внесла російська математична школа ( Крейн, Гельфанд, Левітан).


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Зворотній функція
Зворотній решітка
Зворотній зв'язок
Зворотній розробка
Зворотній транскриптаза
Зворотній згортка
Зворотній зв'язок (техніка)
Зворотній польський запис
Зворотній зв'язок (кібернетика)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru