Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Зворотній функція



План:


Введення

Не слід плутати з Зворотній величина.

Зворотній функція - функція, що звертає залежність, що виражається даною функцією.


1. Визначення

Функція g: Y \ to X є зворотною до функції f: X \ to Y , Якщо виконані наступні тотожності:

  • f (g (y)) = y для всіх y \ in Y;
  • g (f (x)) = x для всіх x \ in X.

2. Існування

Щоб знайти зворотну функцію, потрібно вирішити рівняння x = F (y) щодо y . Якщо вона має більш ніж один корінь, то функції оберненої до F не існує. Таким чином, функція f (x) оборотна на інтервалі (A; b) тоді і тільки тоді, коли на цьому інтервалі вона ін'ектівна.

Для безперервної функції F (y) висловити y з рівняння x - F (y) = 0 можливо в тому і тільки тому випадку, коли функція F (y) монотонна (див. теорема про неявної функції). Тим не менш, безперервну функцію завжди можна звернути на проміжках її монотонності. Наприклад, \ Sqrt {x} є зворотною функцією до x 2 на [0, + \ infty) , Хоча на проміжку (- \ Infty, 0] зворотна функція інша: - \ Sqrt {x} .


3. Приклади

  • Якщо F: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} _ +, \; F (x) = a ^ x , Де a> 0, то F - 1 (x) = log a x.
  • Якщо F (x) = ax + b, \; x \ in \ mathbb {R} , Де a, b \ in \ mathbb {R} фіксовані постійні і a \ neq 0 , То F ^ {-1} (x) = \ frac {x-b} {a}.
  • Якщо F (x) = x ^ n, x \ ge 0, n \ in \ mathbb Z , То F ^ {-1} (x) = \ sqrt [n] {x}.

4. Властивості

  • Областю визначення F - 1 є безліч Y , А областю значень безліч X .
  • За побудовою маємо:
y = F (x) \ Leftrightarrow x = F ^ {-1} (y)

або

F \ left (F ^ {-1} (y) \ right) = y, \; \ forall y \ in Y ,
F ^ {-1} (F (x)) = x, \; \ forall x \ in X ,

або коротше

F \ circ F ^ {-1} = \ mathrm {id} _Y ,
F ^ {-1} \ circ F = \ mathrm {id} _X ,

де \ Circ означає композицію функцій, а id X, id Y - тотожні відображення на X і Y відповідно.

  • Функція F є зворотною до F - 1 :
\ Left (F ^ {-1} \ right) ^ {-1} = F .
  • Нехай F: X \ subset \ mathbb {R} \ to Y \ subset \ mathbb {R} - Біекція. Нехай F ^ {-1}: Y \ to X її зворотна функція. Тоді графіки функцій y = F (x) і y = F - 1 (x) симетричні відносно прямої y = x .

5. Розклад в степеневий ряд

Зворотній функція аналітичної функції може бути представлена ​​у вигляді степеневого ряду:

F ^ {-1} (y) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty A_k (x_0) \ frac {(yf (x_0)) ^ k} {k!},

де коефіцієнти A k задаються рекурсивної формулою:

A_k (x) = \ begin {cases} A_0 (x) = x \ \ A_ {n +1} (x) = \ frac {A_n '(x)} {F' (x)} \ end {cases}

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Зворотній транскриптаза
Зворотній решітка
Зворотній зв'язок
Зворотній розробка
Зворотній завдання
Зворотній згортка
Зворотній польський запис
Зворотній зв'язок (кібернетика)
Зворотній зв'язок (техніка)
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru