Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Згортка тензора



Згортка в тензорному численні - операція пониження валентності тензора на 2, переводить тензор валентності (M, n) в тензор валентності (M - 1, n - 1) . У координатах вона записується таким чином:

{T ^ {i_1, \ dots, \ underline {i_0}, \ dots, i_n} _ {j_1, \ dots, \ underline {j_0}, \ dots, j_n}} \ rightarrow {T ^ {i_1, \ dots, i_n} _ {j_1, \ dots, j_n}} = {T ^ {i_1, \ dots, \ underline {i_0}, \ dots, i_n} _ {j_1, \ dots, \ underline {i_0}, \ dots, j_n }}

де застосовано правило підсумовування Ейнштейна по повторюваним різноваріантність (верхньому і нижньому) індексам, тобто в даному випадку по i 0 .

Часто операцію згортки проводять над тензорами, які є творами тензорів, або, коротше, роблять згортку двох або декількох тензорів.

Наприклад, A ^ i_j B ^ j_k є запис звичайного множення матриці A на матрицю B, тобто, у звичайній матричної записи, записуючи індекси внизу і не опускаючи знак суми, це

\ Sum_ {j = 1} ^ N A_ {ij} B_ {jk} .

В принципі згортка завжди проводиться по верхньому і нижньому індексах, проте у разі якщо задано метричний тензор, ко-і контраваріантние індекси можна однозначно переводити один в одного (піднімати і опускати), тому згортку можна вести по будь-якій парі індексів, використовуючи метричний тензор, якщо обидва індекси верхні або нижні. Наприклад:

A_ {ij} B_ {jk} = A_ {ij} g ^ {jm} B_ {mk} = A_ {ij} B ^ j_ {\ k} = C_ {ik}

Зауваження: операція згортки визначена і має сенс не тільки для тензорних об'єктів. В усякому разі, в компонентах абсолютно та ж операція застосовується для згортки з матрицями перетворення координат ( матрицями Якобі) і з компонентами афінної зв'язності, які не є уявленнями тензорів. Ці згортки мають так само ясний геометричний зміст і грають важливу роль в тензорному аналізі, до того ж використовуються для побудови уявлення справжніх тензорних об'єктів, таких як тензор кривизни.


Приклади

  • Згортка тензора по парі індексів, за якими він анти (косо) симетричний, дає нульовий тензор.
  • Згортка A ^ i_ {\ j} v ^ j вектора v з тензором A рангу (1,1) представляє множення вектора на лінійний оператор, яким такий тензор є по відношенню до вектора.
  • Згортка \ B_ {ij} a ^ i b ^ j векторів a і b з тензором B рангу (0,2) є білінійної формою; так згортка двох векторів з метричним тензором \ G_ {ij} a ^ i b ^ j дає їх скалярний твір.
  • У тому числі \ B_ {ij} v ^ i v ^ j - Квадратична форма; саме таким чином згортка з метричним тензором дає квадрат норми вектора.
  • Згортка \ A_j b ^ j коваріантного і контраваріантного вектора дає дію 1-форми на вектор, або, якщо вважати коваріантний компоненти просто дуальним поданням цього вектора, то це скалярний добуток двох векторів, один з яких представлений в дуальному базисі.
  • Згортка A ^ j_ {\ j} тензора A рангу (1,1) (з собою) є слідом матриці A ^ i_ {\ j} . Це найпростіший випадок побудови (скалярного) інваріанта з тензора.
  • Дія лінійного оператора на просторі тензорів деякого певного рангу є згортка з тензором вдвічі більшого рангу, стільки ж разів коваріантного, скільки контраваріантного, наприклад (у координатній запису): B ^ i_ {jk} = L ^ {i \ \ \ qr} _ {jkp} A ^ p_ {qr}

Властивості

  • Згортка (коректна) одного або декількох тензорів (у тому числі векторів і скалярів) завжди дає тензор (у тому числі, можливо, вектор або скаляр).

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Згортка
Згортка списку
Зворотній згортка
Згортка (математичний аналіз)
© Усі права захищені
написати до нас