Зірка Ходжа

Зірка Ходжа - важливий лінійний оператор з простору p-векторів у простір np-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами p-форм і p-векторів, тому зазвичай зіркою Ходжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності nq.

$* \ Colon \ Lambda ^ q (T ^ * M) \ to \ Lambda ^ {n-q} (T ^ * M)$

Цей оператор був введений Вільямом Ходжем.

1. Визначення

1.1. Допоміжні визначення

Визначимо форму обсягу

$\ Omega = f (X) dX ^ 0 \ wedge \ ldots \ wedge dX ^ {n-1}$

$\ Omega_ {M_1 \ ldots M_n} = f (X) \ varepsilon_ {M_1 \ ldots M_n}$

де $f (X): M \ to \ mathbb {R}$ - Невід'ємні скаляр на різноманітті , А $\ Varepsilon_ {M_1 \ ldots M_n}$ - повністю антисиметрична символ. $\ Varepsilon_ {0 \ ldots n-1} = +1$ . Навіть у відсутність метрики, якщо f (X)> 0 , Можна визначити контраваріантие компоненти форми об'єму.

$\ Check {\ Omega} ^ {M_1 \ ldots M_n} = f ^ {-1} (X) \ varepsilon ^ {M_1 \ ldots M_n}$

тут антисиметрична символ $\ Varepsilon ^ {M_1 \ ldots M_n}$ збігається $\ Varepsilon_ {M_1 \ ldots M_n}$ .

У присутності метрики $\ Omega$ з піднятими індексами може відрізнятися від $\ Check {\ Omega}$ на знак: $\ Omega = \ sigma \ check {\ Omega}$ . Тут і далі $\ Sigma = \ sgn \ det (g_ {mk})$

Введемо операцію антісімметрізаціі:

$A_ {[m_1 \ ldots m_q]} = \ frac {1} {q!} \ Sum_ {\ sigma (m_1 \ ldots m_q)} (-1) ^ {\ sgn (m_1 \ ldots m_q)} A_ {\ sigma (m_1 \ ldots m_q)}$ . Підсумовування ведеться по всіх перестановок $\ Sigma (m_1 \ ldots m_q)$ індексів, вкладених у квадратні дужки, з урахуванням їх парності $\ Sgn (\ sigma)$ . Аналогічно визначається антісімметрізація верхніх індексів; антісімметрізовать можна тільки по групі індексів одного типу. Приклади: $A_ {k [lm]} = \ frac {1} {2!} (A_ {klm}-A_ {kml})$ ; $A_k ^ {[l} B_p ^ {m]} = \ frac {1} {2!} (A_k ^ l B_p ^ m - A_k ^ m B_p ^ l)$ .

Розберемося тепер з операцією згортки. При згортку набору антисиметрична індексів зручно ввести наступне позначення:

$A ^ {A \ ldots \ lfloor K_1 \ ldots K_k \ rfloor B \ ldots} {} _ {C \ ldots \ lfloor K_1 \ ldots K_k \ rfloor D \ ldots} = \ frac {1} {k!} A ^ { A \ ldots K_1 \ ldots K_k B \ ldots} {} _ {C \ ldots K_1 \ ldots K_k D \ ldots}$ .

Якщо тензор антісімметрічен як по верхнім, так і по нижніх згортати індексам, можна вести підсумовування за індексами, укладеним в дужки $\ Lfloor \; \ rfloor$ тільки по впорядкованим наборам не ділячи на , Це пов'язано з тим, що різні набори індексів $K_1 \ ldots K_k$ , Що відрізняються лише порядком індексів дають однаковий внесок у суму.

Визначимо тепер тензори:

$(A, B) ^ {(k)} _ {M_ {k +1} \ ldots M_q} {} ^ {N_ {k +1} \ ldots N_p} = A_ {\ lfloor K_1 \ ldots K_k \ rfloor M_ { k +1} \ ldots M_q} {} ^ {\ lfloor K_1 \ ldots K_k \ rfloor N_ {k +1} \ ldots N_p}$

$(A, B) ^ {\ underline {(k)}} _ {M_1 \ ldots M_ {qk}} {} ^ {N_1 \ ldots N_ {pk}} = A_ {M_1 \ ldots M_ {qk} \ lfloor K_1 \ ldots K_k \ rfloor} {} ^ {N_1 \ ldots N_ {pk} \ lfloor K_1 \ ldots K_k \ rfloor}$

Індекс (k) вказує число індексів, за якими проводилась згортка. Там де це не може призвести до неоднозначності, (k) буде опускатися. Вищенаведені тензори можуть відрізнятися (а можуть і не відрізнятися) тільки на знак.

1.2. Загальне визначення зірки Ходжа

Використовуючи форму обсягу $\ Omega$ і полівектор $\ Check {\ Omega}$ можна ввести операцію , Що перетворює полівектор ступеня в диференціальну форму * B ступеня n-p , І зворотну операцію $* ^ {-1}$ , Що перетворює форму ступеня в полівектор $* ^ {-1} A$ ступеня n-q

$* B = (\ Omega, B) ^ {(p)}$

$* ^ {-1} A = (A, \ check {\ Omega}) ^ {\ underline {(q)}}$

Ця операція називається зіркою Ходжа або дуальності Ходжа. У компонентах вона виглядає наступним чином:

$(* B) _ {m_ {q +1} \ ldots m_n} = \ frac {f (X)} {q!} B ^ {m_1 \ ldots m_q} \ varepsilon_ {m_1 \ ldots m_n}$

Оскільки $* ^ {-1} * B = B$ і $** ^ {-1} A = A$ , То ми встановили взаємно-однозначна відповідність між диференціальними формами ступеня q і полівекторамі ступеня nq

Крім операторів і $* ^ {-1}$ введемо пару операторів: $\ Check {*}$ і $\ Check {*} ^ {-1}$ , Що відрізняються від них знаком.

$\ Check {*} B = (\ Omega, B) ^ {\ underline {(p)}}$

$\ Check {*} ^ {-1} A = (A, \ check {\ Omega}) ^ {(q)}$

1.3. Зірка Ходжа в присутності метрики

Нехай на нашому різноманітті розмірності n задана метрика $g_ {mk}$ . Позначимо $g = \ det (g_ {mk})$ .

Елементом обсягу або формою обсягу породженої метрикою $g_ {mk}$ називається форма $\ Omega = \ sqrt {| g |} dX ^ 0 \ wedge \ ldots \ wedge dX ^ {n-1} = \ sqrt {| g |} d ^ n X$ У компонентах:

$\ Omega_ {m_1 \ ldots m_n} = \ sqrt {| g |} \ varepsilon_ {m_1 \ ldots m_n}$

$\ Omega ^ {m_1 \ ldots m_n} = \ frac {\ sqrt {| g |}} {g} \ varepsilon ^ {m_1 \ ldots m_n} = \ frac {\ sgn (g)} {\ sqrt {| g | }} \ varepsilon ^ {m_1 \ ldots m_n}$

Оскільки у нас є метрика, ми можемо влаштувати канонічний ізоморфізм між полівекторамі і диференціальними формами:

$A_ {m_1 \ ldots m_n} = A ^ {l_1 \ ldots l_n} g_ {m_1 l_1} \ cdots g_ {m_n l_n}$

Тому ми можемо встановити взаємно-однозначну відповідність між q-формами та (nq)-формами. $(* A) _ {m_ {q +1} \ ldots m_n} = \ frac {1} {q!} \ Omega_ {m_1 \ ldots m_n} A_ {l_1 \ ldots l_q} g ^ {m_1 l_1} \ cdots g ^ {m_q l_q}$

2. Додаткові оператори

На полівекторах можна ввести оператор взяття дивергенції, понижуючий ступінь полівектора на 1:

$\ Delta = * ^ {-1} d *$

$(\ Delta A) ^ {M_1 \ ldots M_ {q-1}} = \ frac {1} {f (X)} \ partial_ {M_q} (f (X) A ^ {M_1 \ ldots M_q})$

У присутність метрики оператор дивергенції $\ Delta$ виражається через оператор коваріантного похідної $\ Nabla$ , Визначений за допомогою узгодженої з метрикою симетричною зв'язності :

$(\ Delta A) ^ {M_1 \ ldots M_ {q-1}} = (\ nabla, A) ^ {\ underline {(1)} M_1 \ ldots M_ {q-1}} = \ nabla_ {M_q} A ^ {M_1 \ ldots M_q} = \ frac {1} {\ sqrt {| g |}} \ partial_ {M_q} (\ sqrt {| g |} A ^ {M_1 \ ldots M_q})$

Іноді операцію ( зовнішню похідну) називають градієнтом диференціальних форм, а операцію $\ Delta$ - Дивергенції. Для 1-форми операція $\ Delta$ задає звичайну дивергенцію (у присутності метрики, диференціальні форми і полівектора ототожнюються з допомогою канонічного ізоморфізму)

Лапласіан $\ Delta$ від -Форми визначається формулою:

$\ Delta A = (-1) ^ q (\ delta d + d \ delta) A$

Для скаляра (0-форми) лапласіан - оператор Лапласа-Бельтрамі :

Для скаляра $\ Delta = \ nabla_M \ nabla ^ M$ . Якщо q> 0 , То для довільної метрики в $\ Delta$ з'являються додаткові члени лінійні по кривизні. Так у випадку q = 1