Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Квадратична форма



План:


Введення

Квадратична форма - функція на векторному просторі, що задається однорідним многочленом другого ступеня від координат вектора.


1. Визначення

Нехай \, L є векторний простір над полем \, K і e_1, e_2, \ dots, e_n - Базис в \, L .

Функція Q: L \ to K називається квадратичною формою, якщо її можна представити у вигляді

Q (x) = \ sum_ {i, j = 1} ^ n a_ {ij} x_i x_j,

де x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \ cdots + x_n e_n , А \, A_ {ij} - Деякі елементи поля \, K .


2. Пов'язані визначення

  • Матрицю \, (A_ {ij}) називають матрицею квадратичної форми в даному базисі. У разі, якщо характеристика поля \, K не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто \, A_ {ij} = a_ {ji} .
  • Для будь-квадратичної форми \, Q існує єдина симетрична билинейная форма \, B , Така, що \, Q (x) = B (x, x) . Білінійну форму \, B називають полярною до \, Q , Вона може бути обчислена за формулою
B (x, y) = \ frac {1} {4} \, (Q (x + y)-Q (x-y)).
  • Матриця квадратичної форми в довільному базисі співпадає з матрицею полярної їй білінійної форми в тому ж базисі.
  • Якщо матриця квадратичної форми має повний ранг, то квадратичну форму називають невиродженої, інакше - виродженої.
  • Квадратична форма \, Q називається позитивно (негативно) певної, якщо для будь-якого x \ neq 0 виконано нерівність \, Q (x)> 0\, (Q (x) <0) . Позитивно певні і негативно певні форми називаються знакоопределеннимі.
  • Квадратична форма A (x, x) називається знакозмінної, якщо вона приймає як позитивні, так і негативні значення.
  • Квадратична форма \, Q якщо A (x, x) \ geq 0(A (x, x) \ leq 0) для будь-якого x \ in L .

3. Властивості

  • Критерій Сильвестра
    • Квадратична форма є позитивно визначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
    • Квадратична форма є негативно визначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядка 1 від'ємний.
  • Білінійна форма, полярна позитивно певної квадратичної формі, задовольняє всім аксіомам скалярного твори.
  • Для будь-квадратичної форми існує базис, в якому її матриця діагональна, а сама форма має канонічний вигляд:
    A (x, x) = x ^ 2_1 + \ cdots + x ^ 2_p - x ^ 2_ {p +1} - \ cdots-x ^ 2_ {p + n}.
    • Різниця між числом позитивних ( p ) І негативних ( n - p ) Членів в цьому записі називається сигнатурою квадратичної форми. Сигнатура, також як і числа позитивних і негативних складових, не залежать від способів приведення квадратичної форми до канонічного виду (закон інерції Сильвестра).
  • Для приведення квадратичної форми до канонічного виду зазвичай використовується метод Лагранжа.

4. Приклади

  • Скалярний добуток векторів \, (X, y) - Симетрична билинейная функція. Відповідна квадратична форма \, Q (x) = (x, x) є позитивно визначеною, вона зіставляє вектору \, X квадрат його довжини.
  • Квадратична форма \, Q (x) = x_1x_2 на площині (вектор \, X має дві координати: \, X_1 і \, X_2 ) Є знакозмінної, вона приводиться до канонічного вигляду x_1 ^ 2-x_2 ^ 2 за допомогою лінійної заміни \, X_1 = x_1 '+ x_2', \ x_2 = x_1'-x_2 ' .

Література

  • Мальцев А. І. Основи лінійної алгебри. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри М.: Наука, 1971.
  • Тадея Д. К. Лекції з алгебри. М.: Наука, 1984.
  • Кострикін А. І. Введення в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемішев Д. В. Аналітична геометрія і лінійна алгебра.-М.: Вища. шк. 1998, 320с.
  • Гельфанд І. М., Лінійна алгебра. Курс лекцій.
  • Шафаревич І. Р., Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Физматлит, Москва, 2009.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Перша квадратична форма
Друга квадратична форма
Квадратична функція
Форма
2-форма
Лінійна форма
Форма (розповідь)
Форма предмета
Ермітових форма
© Усі права захищені
написати до нас