Квадрат (алгебра)

y = x , при цілих значеннях x на відрізку від 1 до 25

Квадратом числа називається результат множення числа на саме себе (зведення числа у ступінь 2).

Далі наведено початок числової послідовності для квадратів цілих невід'ємних чисел (послідовність A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849 ...

Квадрат натурального числа n можна також представити у вигляді суми перших n непарних чисел :

1: 1 = 1

2: 4 = 1 + 3

...

7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

...

Ще один спосіб представлення квадрата натурального числа:
n ² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + (N - 1) + (n - 1) + n
Приклад:

1: 1 = 1

2: 4 = 1 + 1 + 2

...

4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4

...

Сума квадратів перших n натуральних чисел обчислюється за формулою: $\ Sum_ {i = 1} ^ n i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + ... + N ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}$

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраїчній формою можна обчислити за формулою:

$\ Left (a + bi \ right) ^ 2 = \ left (a ^ 2 - b ^ 2 \ right) + 2abi.$

Аналогічна формула для комплексного числа в тригонометричній формі:

$r \ left (\ cos \ phi + i \ sin \ phi \ right) ^ 2 = r ^ 2 \ left (\ cos {2 \ phi} + i \ sin {2 \ phi} \ right).$

Геометричний сенс

Квадрат числа дорівнює площі квадрата зі стороною, рівною цьому числу.