Квадрат (число)

План:

1 Приклади
2 Властивості
3 Геометричне уявлення
4 Узагальнення

Введення

Квадрат або квадратне число - ціле число, яке може бути записано у вигляді квадрата деякого іншого цілого числа (іншими словами, число, квадратний корінь якого цілий). Геометрично таке число може бути представлено у вигляді площі квадрата з целочисленной стороною.

Наприклад, 9 - це квадратне число, тому що воно може бути записано у вигляді 3 3 (може бути представлено у вигляді квадрата 3 3 точки).

1. Приклади

Послідовність квадратів починається так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, ... (послідовність A000290 в OEIS)

Таблиця квадратів
	_0	_1	_2	_3	_4	_5	_6	_7	_8	_9
0_	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

2. Властивості

Чотири різних квадрата не можуть утворювати арифметичну прогресію. ^[1] Арифметичні прогресії з трьох квадратів існують - наприклад: 1, 25, 49.
$1 ^ 2 +2 ^ 2 +3 ^ 2 + \ dots + n ^ 2 = n (n +1) (2n +1) / 6$
Кожне число може бути представлено як сума чотирьох квадратів ( теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів).
4900 - єдине число> 1, який є одночасно квадратним і пірамідальним.
Суми пар послідовних трикутних чисел є квадратними числами.
Остання цифра квадрата в десяткового запису дорівнює 0, 1, 4, 5, 6 або 9 ( квадратичні відрахування по модулю 10).
Дві останні цифри квадрата в десяткового запису рівні 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 або 96 (квадратичні відрахування по модулю 100). Залежність передостанній цифри квадрата від останньої можна представити у вигляді такої таблиці:

остання цифра	передостання цифра
0	0
5	2
1, 4, 9	парна
6	непарна

3. Геометричне уявлення

1

4

9

16

25

4. Узагальнення

Поняття квадрата узагальнюється на довільні мультиплікативні групи. Зокрема, в кільцях відрахувань квадратах відповідають квадратичні відрахування.

Примітки

K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression - mathpages.com/home/kmath044/kmath044.htm (Англ.)