Клас (математика)

Клас - термін, що вживається в математиці в основному як синонім терміну " безліч "для позначення довільних сукупностей об'єктів, що володіють яким-небудь певним властивістю або ознакою (наприклад, в алгебрі - класи еквівалентності). Іноді класами воліють називати сукупності, елементами яких є безлічі (наприклад, в рекурсивної теорії - Перечіслімий класи). У деяких випадках під впливом аксіоматичної теорії множин термін "клас" застосовується для того, щоб підкреслити, що дана сукупність виявляється власне класом, а не безліччю у вузькому сенсі (наприклад, в алгебрі - примітивні класи універсальних алгебр, звані також різноманіття). Теоретико-множинні операції над класами визначаються так само, як і над множинами.

У аксіоматичної теорії множин

Клас в аксіоматичної теорії множин (точніше, в аксіоматичної системі Геделя - Бернайса) - ​​один з видів вихідних об'єктів, що розглядаються в цих системах, причому відмінність між множинами і класами полягає в тому, що елементами класів і множин, що розглядаються у цій теорії, можуть бути тільки безлічі , але не класи.

Ідея запровадження так розуміються класів у теорію множин належить Дж. Нейманом (J. Neumann) і грунтується на його зауваженні, що відомі суперечності канторовской теорії множин виникають не через допущення освіти дуже великих множин, а через те, що таким множинам дозволяється бути елементами інших множин. Крім зазначеного обмеження, у названих аксіоматичних системах допускаються всі звичайні теоретико-множинні операції над класами, що призводять до класів, а не до множинам, до того ж для всякого в деякому сенсі допустимого предиката, визначеного на множинах, існує клас, що складається в точності з множин, що задовольняють розглядався предикату.

Доведено, що несуперечність кожної з систем Геделя - Бернайса (теоретико-множинна частина) і Цермело - Френкеля випливає з несуперечності інший.