Коваріантна похідна - узагальнення поняття похідної для тензорних полів на многовидах. Поняття коваріантного похідної тісно пов'язане з поняттям афінної зв'язності.

Коваріантна похідна тензорного поля T в напрямку дотичного вектора {\ Mathbf v} звичайно позначається \ Nabla_ {\ mathbf v} T .


1. Формальне визначення

1.1. Скалярні функції

Для скалярної функції f коваріантна похідна {\ Nabla} _ {\ mathbf {v}} f збігається із звичайною похідної функції у напрямку векторного поля \ Mathbf {v} .

1.2. Векторні поля

Коваріантна похідна \ Nabla векторного поля {\ Mathbf u} у напрямку векторного поля {\ Mathbf v} , Що позначається \ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} визначається по наступних властивостях, для будь-якого вектора \ Mathbf {v} , Векторних полів \ Mathbf {u} , \ Mathbf {w} і скалярних функцій f і g :

  1. \ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} лінійно по відношенню до {\ Mathbf v} , Тобто \ Nabla_ {f {\ mathbf v} + g {\ mathbf w}} {\ mathbf u} = f \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} + g \ nabla_ {\ mathbf w} {\ mathbf u}
  2. \ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} адитивно щодо {\ Mathbf u} , Тобто \ Nabla_ {\ mathbf v} ({\ mathbf u} + {\ mathbf w}) = \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} + \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf w}
  3. \ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} підпорядковується правилом твори, тобто \ Nabla_ {\ mathbf v} f {\ mathbf u} = f \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} + {\ mathbf u} \ nabla_ {\ mathbf v} f , Де \ Nabla_ {\ mathbf v} f визначено вище.

1.2.1. Зауваження

Зауважимо, що \ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} в точці p залежить тільки від значення \ Mathbf {v} в точці p і від значень \ Mathbf {u} в її околиці. Зокрема, оператор коваріантного похідною не є тензором (незважаючи на те, що його значення на кожному тензорному поле тензором є).


1.3. Ковекторние поля

Якщо задано поле ковекторов (тобто один раз коваріантного тензорів, званих також 1-формами) \ Alpha , Його коваріантна похідна \ Nabla_ {\ mathbf v} \ alpha може бути визначена використовуючи наступне тотожність, яке задовольняється для всіх векторних полів \ Mathbf {u}

\ Nabla_ {\ mathbf v} (\ alpha ({\ mathbf u})) = (\ nabla_ {\ mathbf v} \ alpha) ({\ mathbf u}) + \ alpha (\ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u}).

Коваріантна похідна ковекторного поля уздовж векторного поля \ Mathbf {v} - Теж ковекторное поле.

Можливо також самостійне визначення коваріантного похідної ковекторного поля, не пов'язане з похідною векторних полів. Тоді в загальному випадку похідні скалярів залежать від їх походження, і говорять про неметрічності афінної зв'язності, пов'язаної з даною коваріантного похідної. При даному вище визначенні неметрічность дорівнює нулю.


1.4. Тензорні поля

Як тільки коваріантна похідна визначена для векторних і ковекторних полів, її легко узагальнити на довільні тензорні поля за допомогою правила Лейбніца ( \ Varphi і {\ Psi} - Довільні тензори):

\ Nabla_ {\ mathbf v} (\ varphi \ otimes \ psi) = (\ nabla_ {\ mathbf v} \ varphi) \ otimes \ psi + \ varphi \ otimes (\ nabla_ {\ mathbf v} \ psi),

Якщо \ Varphi і \ Psi - Тензорні поля з одного і того ж тензорного розшарування, їх можна скласти:

\ Nabla_ {\ mathbf v} (\ varphi + \ psi) = \ nabla_ {\ mathbf v} \ varphi + \ nabla_ {\ mathbf v} \ psi.

2. Вираз в координатах

Нехай тензорне поле типу (P, q) задано своїми компонентами {T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q} (\ mathbf {x}) в деякій локальній системі координат x ^ k , Причому компоненти - диференційовні функції. Тоді коваріантна похідна тензорного поля являє собою тензор типу (P, q +1) , Який визначається за формулою:

\ Nabla_ \ ell {T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q} = \ frac {\ partial {T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q}} { \ partial x ^ \ ell} + \ sum_ {k = 1} ^ p {T ^ {i_1 \ ldots k \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q} \ Gamma ^ {i_k} {} _ {\ ell k} - \ sum_ {m = 1} ^ q {T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 \ ldots m \ ldots j_q} \ Gamma ^ {m} {} _ {\ ell j_m}

де \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} - символи Крістоффеля, що виражають зв'язність викривленого різноманіття.


2.1. Приклади для деяких типів тензорних полів

Коваріантна похідна векторного поля V ^ m \ має в порівнянні з приватної похідної додаткове доданок,

\ Nabla_ \ ell V ^ m = \ frac {\ partial V ^ m} {\ partial x ^ \ ell} + \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell} V ^ k. \

Коваріантна похідна скалярного поля \ Varphi \ збігається з приватної похідної,

\ Nabla_i \ varphi = \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x ^ i} \

а коваріантна похідна ковекторного поля \ Omega_m \ -

\ Nabla_ \ ell \ omega_m = \ frac {\ partial \ omega_m} {\ partial x ^ \ ell} - \ Gamma ^ k {} _ {\ ell m} \ omega_k. \

Для зв'язності без кручення символи Крістоффеля симетричні, і коваріантного похідні скалярного поля комутують:

\ Nabla_i \ nabla_j \ varphi = \ nabla_j \ nabla_i \ varphi \

У загальному випадку коваріантного похідні тензорів не комутується (див. тензор кривизни).

Коваріантна похідна тензорного поля типу (2,0)A ^ {ik} \ дорівнює

\ Nabla_ \ ell A ^ {ik} = \ frac {\ partial A ^ {ik}} {\ partial x ^ \ ell} + \ Gamma ^ i {} _ {m \ ell} A ^ {mk} + \ Gamma ^ k {} _ {m \ ell} A ^ {im}, \

тобто

A ^ {ik} {} _ {; \ ell} = A ^ {ik} {} _ {, \ ell} + A ^ {mk} \ Gamma ^ i {} _ {m \ ell} + A ^ {im } \ Gamma ^ k {} _ {m \ ell}. \

Для тензорного поля з одним верхнім, одним нижнім індексом коваріантна похідна дорівнює

A ^ i {} _ {k; \ ell} = A ^ i {} _ {k, \ ell} + A ^ {m} {} _k \ Gamma ^ i {} _ {m \ ell} - A ^ i {} _m \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell}, \

нарешті, для двічі коваріантного тензорного поля, тобто поля типу (0,2) ,

A_ {ik; \ ell} = A_ {ik, \ ell} - A_ {mk} \ Gamma ^ m {} _ {i \ ell} - A_ {im} \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell}. \

Література

  • Рашевський П. До Ріманова геометрія і тензорний аналіз. - Будь-яке видання.