Коваріантна похідна

Коваріантна похідна - узагальнення поняття похідної для тензорних полів на многовидах. Поняття коваріантного похідної тісно пов'язане з поняттям афінної зв'язності.

Коваріантна похідна тензорного поля в напрямку дотичного вектора ${\ Mathbf v}$ звичайно позначається $\ Nabla_ {\ mathbf v} T$ .

1. Формальне визначення

1.1. Скалярні функції

Для скалярної функції коваріантна похідна ${\ Nabla} _ {\ mathbf {v}} f$ збігається із звичайною похідної функції у напрямку векторного поля $\ Mathbf {v}$ .

1.2. Векторні поля

Коваріантна похідна $\ Nabla$ векторного поля ${\ Mathbf u}$ у напрямку векторного поля ${\ Mathbf v}$ , Що позначається $\ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u}$ визначається по наступних властивостях, для будь-якого вектора $\ Mathbf {v}$ , Векторних полів $\ Mathbf {u}$ , $\ Mathbf {w}$ і скалярних функцій і :

$\ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u}$ лінійно по відношенню до ${\ Mathbf v}$ , Тобто $\ Nabla_ {f {\ mathbf v} + g {\ mathbf w}} {\ mathbf u} = f \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} + g \ nabla_ {\ mathbf w} {\ mathbf u}$
$\ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u}$ адитивно щодо ${\ Mathbf u}$ , Тобто $\ Nabla_ {\ mathbf v} ({\ mathbf u} + {\ mathbf w}) = \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} + \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf w}$
$\ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u}$ підпорядковується правилом твори, тобто $\ Nabla_ {\ mathbf v} f {\ mathbf u} = f \ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u} + {\ mathbf u} \ nabla_ {\ mathbf v} f$ , Де $\ Nabla_ {\ mathbf v} f$ визначено вище.

1.2.1. Зауваження

Зауважимо, що $\ Nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u}$ в точці залежить тільки від значення $\ Mathbf {v}$ в точці і від значень $\ Mathbf {u}$ в її околиці. Зокрема, оператор коваріантного похідною не є тензором (незважаючи на те, що його значення на кожному тензорному поле тензором є).

1.3. Ковекторние поля

Якщо задано поле ковекторов (тобто один раз коваріантного тензорів, званих також 1-формами) $\ Alpha$ , Його коваріантна похідна $\ Nabla_ {\ mathbf v} \ alpha$ може бути визначена використовуючи наступне тотожність, яке задовольняється для всіх векторних полів $\ Mathbf {u}$

$\ Nabla_ {\ mathbf v} (\ alpha ({\ mathbf u})) = (\ nabla_ {\ mathbf v} \ alpha) ({\ mathbf u}) + \ alpha (\ nabla_ {\ mathbf v} {\ mathbf u}).$

Коваріантна похідна ковекторного поля уздовж векторного поля $\ Mathbf {v}$ - Теж ковекторное поле.

Можливо також самостійне визначення коваріантного похідної ковекторного поля, не пов'язане з похідною векторних полів. Тоді в загальному випадку похідні скалярів залежать від їх походження, і говорять про неметрічності афінної зв'язності, пов'язаної з даною коваріантного похідної. При даному вище визначенні неметрічность дорівнює нулю.

1.4. Тензорні поля

Як тільки коваріантна похідна визначена для векторних і ковекторних полів, її легко узагальнити на довільні тензорні поля за допомогою правила Лейбніца ( $\ Varphi$ і ${\ Psi}$ - Довільні тензори):

$\ Nabla_ {\ mathbf v} (\ varphi \ otimes \ psi) = (\ nabla_ {\ mathbf v} \ varphi) \ otimes \ psi + \ varphi \ otimes (\ nabla_ {\ mathbf v} \ psi),$

Якщо $\ Varphi$ і $\ Psi$ - Тензорні поля з одного і того ж тензорного розшарування, їх можна скласти:

$\ Nabla_ {\ mathbf v} (\ varphi + \ psi) = \ nabla_ {\ mathbf v} \ varphi + \ nabla_ {\ mathbf v} \ psi.$

2. Вираз в координатах

Нехай тензорне поле типу (P, q) задано своїми компонентами ${T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q} (\ mathbf {x})$ в деякій локальній системі координат x ^ k , Причому компоненти - диференційовні функції. Тоді коваріантна похідна тензорного поля являє собою тензор типу (P, q +1) , Який визначається за формулою:

$\ Nabla_ \ ell {T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q} = \ frac {\ partial {T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q}} { \ partial x ^ \ ell} + \ sum_ {k = 1} ^ p {T ^ {i_1 \ ldots k \ ldots i_p}} _ {j_1 j_2 \ ldots j_q} \ Gamma ^ {i_k} {} _ {\ ell k} - \ sum_ {m = 1} ^ q {T ^ {i_1 i_2 \ ldots i_p}} _ {j_1 \ ldots m \ ldots j_q} \ Gamma ^ {m} {} _ {\ ell j_m}$

де $\ Gamma ^ {k} {} _ {ij}$ - символи Крістоффеля, що виражають зв'язність викривленого різноманіття.

2.1. Приклади для деяких типів тензорних полів

Коваріантна похідна векторного поля $V ^ m \$ має в порівнянні з приватної похідної додаткове доданок,

$\ Nabla_ \ ell V ^ m = \ frac {\ partial V ^ m} {\ partial x ^ \ ell} + \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell} V ^ k. \$

Коваріантна похідна скалярного поля $\ Varphi \$ збігається з приватної похідної,

$\ Nabla_i \ varphi = \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x ^ i} \$

а коваріантна похідна ковекторного поля $\ Omega_m \$ -

$\ Nabla_ \ ell \ omega_m = \ frac {\ partial \ omega_m} {\ partial x ^ \ ell} - \ Gamma ^ k {} _ {\ ell m} \ omega_k. \$

Для зв'язності без кручення символи Крістоффеля симетричні, і коваріантного похідні скалярного поля комутують:

$\ Nabla_i \ nabla_j \ varphi = \ nabla_j \ nabla_i \ varphi \$

У загальному випадку коваріантного похідні тензорів не комутується (див. тензор кривизни).

Коваріантна похідна тензорного поля типу (2,0) $A ^ {ik} \$ дорівнює

$\ Nabla_ \ ell A ^ {ik} = \ frac {\ partial A ^ {ik}} {\ partial x ^ \ ell} + \ Gamma ^ i {} _ {m \ ell} A ^ {mk} + \ Gamma ^ k {} _ {m \ ell} A ^ {im}, \$

тобто

$A ^ {ik} {} _ {; \ ell} = A ^ {ik} {} _ {, \ ell} + A ^ {mk} \ Gamma ^ i {} _ {m \ ell} + A ^ {im } \ Gamma ^ k {} _ {m \ ell}. \$

Для тензорного поля з одним верхнім, одним нижнім індексом коваріантна похідна дорівнює

$A ^ i {} _ {k; \ ell} = A ^ i {} _ {k, \ ell} + A ^ {m} {} _k \ Gamma ^ i {} _ {m \ ell} - A ^ i {} _m \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell}, \$

нарешті, для двічі коваріантного тензорного поля, тобто поля типу (0,2) ,

$A_ {ik; \ ell} = A_ {ik, \ ell} - A_ {mk} \ Gamma ^ m {} _ {i \ ell} - A_ {im} \ Gamma ^ m {} _ {k \ ell}. \$

Література

Рашевський П. До Ріманова геометрія і тензорний аналіз. - Будь-яке видання.