Коваріантна похідна - узагальнення поняття похідної для тензорних полів на многовидах. Поняття коваріантного похідної тісно пов'язане з поняттям афінної зв'язності.
Коваріантна похідна тензорного поля в напрямку дотичного вектора
звичайно позначається
.
1. Формальне визначення
1.1. Скалярні функції
Для скалярної функції коваріантна похідна
збігається із звичайною похідної функції у напрямку векторного поля
.
1.2. Векторні поля
Коваріантна похідна векторного поля
у напрямку векторного поля
, Що позначається
визначається по наступних властивостях, для будь-якого вектора
, Векторних полів
,
і скалярних функцій
і
:
лінійно по відношенню до
, Тобто
адитивно щодо
, Тобто
підпорядковується правилом твори, тобто
, Де
визначено вище.
1.2.1. Зауваження
Зауважимо, що в точці
залежить тільки від значення
в точці
і від значень
в її околиці. Зокрема, оператор коваріантного похідною не є тензором (незважаючи на те, що його значення на кожному тензорному поле тензором є).
1.3. Ковекторние поля
Якщо задано поле ковекторов (тобто один раз коваріантного тензорів, званих також 1-формами) , Його коваріантна похідна
може бути визначена використовуючи наступне тотожність, яке задовольняється для всіх векторних полів
Коваріантна похідна ковекторного поля уздовж векторного поля - Теж ковекторное поле.
Можливо також самостійне визначення коваріантного похідної ковекторного поля, не пов'язане з похідною векторних полів. Тоді в загальному випадку похідні скалярів залежать від їх походження, і говорять про неметрічності афінної зв'язності, пов'язаної з даною коваріантного похідної. При даному вище визначенні неметрічность дорівнює нулю.
1.4. Тензорні поля
Як тільки коваріантна похідна визначена для векторних і ковекторних полів, її легко узагальнити на довільні тензорні поля за допомогою правила Лейбніца ( і
- Довільні тензори):
Якщо і
- Тензорні поля з одного і того ж тензорного розшарування, їх можна скласти:
2. Вираз в координатах
Нехай тензорне поле типу задано своїми компонентами
в деякій локальній системі координат
, Причому компоненти - диференційовні функції. Тоді коваріантна похідна тензорного поля являє собою тензор типу
, Який визначається за формулою:
де - символи Крістоффеля, що виражають зв'язність викривленого різноманіття.
2.1. Приклади для деяких типів тензорних полів
Коваріантна похідна векторного поля має в порівнянні з приватної похідної додаткове доданок,
Коваріантна похідна скалярного поля збігається з приватної похідної,
а коваріантна похідна ковекторного поля -
Для зв'язності без кручення символи Крістоффеля симетричні, і коваріантного похідні скалярного поля комутують:
У загальному випадку коваріантного похідні тензорів не комутується (див. тензор кривизни).
Коваріантна похідна тензорного поля типу дорівнює
тобто
Для тензорного поля з одним верхнім, одним нижнім індексом коваріантна похідна дорівнює
нарешті, для двічі коваріантного тензорного поля, тобто поля типу ,
Література
- Рашевський П. До Ріманова геометрія і тензорний аналіз. - Будь-яке видання.