В функціональному аналізі компактним (або цілком безперервним) оператором називається лінійний оператор A: X \ to Y з банаховому просторі X в банаховому просторі Y такий, що всяке обмежена підмножина в X відображається у предкомпактное безліч простору Y . Компактний оператор неодмінно обмежений, а значить, і безперервний (цим виправдовується його друга назва).


Властивості

  • Будь конечномерное оператор компактний. Взагалі, клас компактних операторів є узагальненням класу скінченновимірних операторів на безконечномірні простору.
  • Безліч \ Mathcal {K} (X, Y) компактних операторів з природними операціями є замкнутим підпростором у просторі обмежених операторів.
  • Композиція двох компактних операторів - компактний оператор.
  • Оператор є компактним тоді і тільки тоді, коли він переводить одиничний куля простору X в предкомпактное безліч.
  • Тотожний оператор компактний тоді і тільки тоді, коли він конечномерен. (Це випливає з теореми Рісса про поодинокі кулях).
  • Якщо T - компактний оператор, діючий з X в X, то оператор id - T (компактне обурення тотожного оператора) - Фредгольма оператор індексу 0.
  • Якщо T - компактний оператор, діючий з X в X, де X - Гільбертів простір, то він є межею послідовності з скінченновимірних операторів (по операторної нормі), тобто гільбертовому просторі володіють властивістю апроксимації. Довільні банахових просторах такою властивістю можуть і не володіти, див. приклад Енфло.
  • Якщо T - компактний оператор між гільбертовому просторі, то має місце теорема Шмідта.
  • Всі інтегральні оператори, що діють в просторіL_2на відрізку, компактні.
  • Оператор, сполучений до компактної, компактний.

Приклади

Візьмемо довільну функцію g \ in C [0,1] . Тоді певний наступним чином оператор T буде компактним:

(Tf) (x) = \ int \ limits_0 ^ x f (t) g (t) \, dt