Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Корінь многочлена



Корінь многочлена (не рівного тотожне нулю)

a_0 + a_1x + \ dots + a_nx ^ n

над полем k - Елемент c \ in k , Такий що виконуються два наступних рівносильних умови:

  • даний многочлен ділиться на многочлен x - c ;
  • підстановка елемента c замість x звертає рівняння
a_0 + a_1x + \ dots + a_nx ^ n = 0

в тотожність.

Рівносильність двох формулювань випливає з Теореми Безу. У різних джерелах будь одна з двох формулювань вибирається як визначення, а інша виводиться як теореми.


Властивості

  • Число коренів многочлена ступеня n не перевищує n навіть у тому випадку, якщо кратні корені враховувати кратну кількість разів.
  • Всякий многочлен p (x) з речовими або комплексними коефіцієнтами має принаймні один, взагалі кажучи, комплексний, корінь ( основна теорема алгебри).
    • Аналогічне твердження вірне для будь-якого алгебраїчно замкнутого поля (за визначенням).
    • Більше того, многочлен з речовими коефіцієнтами p (x) можна записати у вигляді
p (x) = a_n (x-c_1) (x-c_2) \ ldots (x-c_n),
де c_1, c_2, \ ldots, c_n - (В загальному випадку комплексні) коріння многочлена p (x) , Можливо з повтореннями, при цьому якщо серед коріння c_1, c_2, \ ldots, c_n многочлена p (x) зустрічаються рівні, то загальна їхня значення називається кратним коренем.
  • Число комплексних коренів многочлена з комплексними коефіцієнтами ступеня n , Враховуючи кратні корені кратну кількість разів, так само n . При цьому всі чисто комплексні корені (якщо вони є) многочлена з речовими коефіцієнтами можна розбити на пари сполучених однаковою кратності, таким чином, многочлен парному ступеня з речовими коефіцієнтами може мати тільки парне число речових коренів, а непарної - тільки непарне.
  • Коріння багаточлена пов'язані з його коефіцієнтами формулами Вієта.

Знаходження коренів

Спосіб знаходження коренів лінійних і квадратичних многочленів, тобто спосіб вирішення лінійних і квадратних рівнянь, був відомий ще в стародавньому світі. Пошуки формули для точного рішення загальних рівняння третього ступеня тривали довгий час (слід згадати метод, запропонований Омаром Хайямом), поки не увінчалися успіхом у першій половині XVI століття в працях Сципіона дель Ферро, Нікколо Тарталья і Джероламо Кардано. Формули для коренів квадратних і кубічних рівнянь дозволили порівняно легко отримати формули для коренів рівняння четвертого ступеня.

Те, що коріння загального рівняння п'ятого ступеня і вище не виражаються за допомогою раціональних функцій і радикалів від коефіцієнтів було доведено норвезьким математиком Нільсом Абелем в 1826 г [1]. Це зовсім не означає, що коріння такого рівняння не можуть бути знайдені. По-перше, в окремих випадках, при деяких комбінаціях коефіцієнтів корені рівняння при деякій винахідливості можуть бути визначені. По-друге, існують формули для коренів рівнянь 5-го ступеня і вище, що використовують, проте, спеціальні функції - еліптичні або гіпергеометричних (див., наприклад, корінь Брінг).

У випадку, якщо всі коефіцієнти многочлена раціональні, то знаходження її коренів наводиться до знаходження коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. Для раціональних коренів таких многочленів існують алгоритми знаходження перебором кандидатів з використанням схеми Горнера, причому при знаходженні цілих коренів перебір може бути істотно зменшений прийомом чищення коренів. Також в цьому випадку можна використовувати поліноміальний LLL-алгоритм.

Для приблизного перебування (з будь-якою необхідною точністю) речових коренів многочлена з речовими коефіцієнтами використовуються ітераційні методи, наприклад, метод січних, метод бисекции, метод Ньютона. Кількість речових коренів многочлена на інтервалі може бути оцінений за допомогою теореми Штурма.

  1. Теорема Абеля в задачах та рішеннях - М.: МЦНМО,. 2001. - 192 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Корінь
Арифметичний корінь
Корінь брінг
Корінь (лінгвістика)
Кубічний корінь
Квадратний корінь з 5
Квадратний корінь з 3
Квадратний корінь з 2
Квадратний корінь
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru