Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Крива другого порядку



План:


Введення

Крива другого порядку - геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду

~ A_ {11} x ^ 2 + a_ {22} y ^ 2 +2 a_ {12} xy +2 a_ {13} x +2 a_ {23} y + a_ {33} = 0,

в якому принаймні один з коефіцієнтів a_ {11}, ~ a_ {12}, ~ a_ {22} відмінний від нуля.


1. Історія

Вперше криві другого порядку вивчалися одним з учнів Платона. Його робота полягала в наступному: якщо взяти дві пересічні прямі і обертати їх навколо бісектриси кута, ними утвореного, то вийде конусна поверхня. Якщо ж перетнути цю поверхню площиною, то в перерізі виходять різні геометричні фігури, а саме еліпс, окружність, парабола, гіпербола і кілька вироджених фігур (див. нижче).

Однак ці наукові знання знайшли застосування лише в XVII, коли стало відомо, що планети рухаються по еліптичних траєкторіях, а гарматний снаряд летить по параболічної. Ще пізніше стало відомо, що якщо додати тілу першу космічну швидкість, то воно буде рухатися по кола навколо Землі, при збільшенні цієї швидкості - по еліпсу, а після досягнення другої космічної швидкості тіло по параболі покине поле тяжіння Землі.


2. Інваріанти

Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів :

  • інваріанти щодо повороту і зсуву системи координат :
    • \ Delta = \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \ \ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \ \ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \ end {vmatrix}
    • D = \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {12} & a_ {22} \ end {vmatrix} = a_ {11} a_ {22} - a_ {12} ^ 2
    • I = tr \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {12} & a_ {22} \ end {pmatrix} = a_ {11} + a_ {22}
  • інваріант щодо повороту системи координат (полуінваріант):
    • B = \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {13} \ \ a_ {13} & a_ {33} \ end {vmatrix} + \ begin {vmatrix} a_ {22} & a_ {23} \ \ a_ {23} & a_ {33} \ end {vmatrix}

3. Характеристична квадратична форма і характеристичне рівняння

Багато важливих властивості кривих другого порядку можуть бути вивчені за допомогою характеристичної квадратичної форми, відповідної рівняння кривої

F_0 (x, \, y) = a_ {11} x ^ 2 + 2a_ {12} xy + a_ {22} y ^ 2.

Так, наприклад, невироджених крива \ Left (\ Delta \ ne0 \ right) виявляється речовим еліпсом, уявним еліпсом, гіперболою або параболою в залежності від того, чи буде F_0 (x, \, y) позитивно певної, негативно певної, невизначеною або полуопределенной квадратичною формою, що встановлюється по корінню характеристичного рівняння:

\ Begin {vmatrix} a_ {11} - \ lambda & a_ {12} \ \ a_ {12} & a_ {22} - \ lambda \ end {vmatrix} = 0

або

λ 2 - I λ + D = 0.

Корені цього рівняння є власними значеннями речовій симетричної матриці

\ Begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {12} & a_ {22} \ end {pmatrix}

і, як наслідок цього, завжди речовинні. [1]


4. Класифікація кривих другого порядку

4.1. Невироджені криві

Крива другого порядку називається невиродженої, якщо \ Delta \ ne0. Можуть виникати такі варіанти:

  • Невироджених крива другого порядку називається центральної, якщо \ Delta I \ not = 0
    • еліпс - за умови D> 0 і Δ I <0 ;
      • окремий випадок еліпса - окружність - за умови I 2 = 4 D або a 11 = a 22, a 12 = 0;
    • уявний еліпс (жодної речовинної точки) - за умови Δ I> 0;
    • гіпербола - за умови D <0;
  • Невироджених крива другого порядку називається нецентральной, якщо Δ I = 0

4.2. Вироджені криві

Крива другого порядку називається виродженою, якщо Δ = 0 . Можуть виникати такі варіанти:


5. Діаметри і центр кривої другого порядку

Діаметром кривої другого порядку називається геометричне місце середин паралельних хорд цієї кривої. Отриманий таким чином діаметр називається зв'язаним цим хордам або їх напрямку. Діаметр, пов'язаний хордам, що утворюють кут θ з позитивним напрямом осі Ox, визначається рівнянням:

\ Left (a_ {11} x + a_ {12} y + a_ {13} \ right) \ cos \ theta + \ left (a_ {12} x + a_ {22} y + a_ {23} \ right) \ sin \ theta = 0.

Якщо виконується умова D \ ne0, то все діаметри кривої перетинаються в одній точці - центрі, а сама крива називається центральною. В іншому випадку ( D = 0 ) Усі діаметри кривої або паралельні, або збігаються.

Координати центру \ Left (x_0, \; y_0 \ right) визначаються системою рівнянь:

\ Begin {cases} a_ {11} x_0 + a_ {12} y_0 + a_ {13} = 0 \ \ a_ {12} x_0 + a_ {22} y_0 + a_ {23} = 0 \ end {cases}

Вирішуючи цю систему відносно x 0 і y 0, отримаємо:

\ Begin {align} x_0 = - \ frac {1} {D} \ begin {vmatrix} a_ {13} & a_ {12} \ \ a_ {23} & a_ {22} \ end {vmatrix} = \ frac { a_ {12} a_ {23} - a_ {13} a_ {22}} {D} \ \ y_0 = - \ frac {1} {D} \ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {13} \ \ a_ {12} & a_ {23} \ end {vmatrix} = \ frac {a_ {13} a_ {12} - a_ {11} a_ {23}} {D} \ end {align} \; \; \; (D \ ne0).

Якщо крива центральна, то перенесення початку координат в її центр призводить рівняння до виду

a_ {11} \ bar x ^ 2 + 2a_ {12} \ bar x \ bar y + a_ {22} \ bar y ^ 2 + \ frac {\ Delta} {D} = 0, \; \; \; \ bar x = x - x_0, \; \; \; \ bar y = y - y_0,

де \ Bar x, \; \ bar y - Координати щодо нової системи.


6. Головні осі і вершини кривої другого порядку

Головною віссю кривою другого порядку називається її діаметр, перпендикулярний до зв'язаних до них хордам. Цей діаметр є віссю симетрії кривої. Кожна центральна крива \ Left (D \ ne0 \ right) або має дві взаємно перпендикулярні осі, або всі діаметри є головними осями. В останньому випадку крива є колом. Нецентральних криві \ Left (D = 0 \ right) мають лише одну головну вісь. Точки перетину головної осі з самої кривої називаються її вершинами.

Напрямні косинуси нормалей до головних осях задовольняють рівнянням

\ Begin {cases} \ left (a_ {11} - \ lambda \ right) \ cos \ theta + a_ {12} \ sin \ theta = 0 \ \ a_ {12} \ cos \ theta + \ left (a_ {22 } - \ lambda \ right) \ sin \ theta = 0 \ end {cases},

де λ - Відмінний від нуля корінь характеристичного рівняння. Напрямки головних осей і пов'язаних їм хорд називаються головними напрямками кривої. Кут між позитивним напрямом осі Ox і кожним з двох головних напрямів визначається формулою

\ Operatorname {tg} 2 \ phi = \ operatorname {tg} 2 \ theta = \ frac {2a_ {12}} {a_ {11}-a_ {22}}.

З усіх видів кривих другого порядку лише окружність має невизначені головні напрями.


7. Рівняння

7.1. Загальне рівняння в матричному вигляді

Загальне рівняння кривої можна записати в матричному вигляді

\ Begin {pmatrix} x & y & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \ \ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \ \ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x \ \ y \ \ 1 \ end {pmatrix} = 0.

7.2. Канонічний вигляд

Введенням нової системи координат можна привести рівняння кривих другого порядку до стандартного канонічного виду (див. таблицю). Параметри канонічних рівнянь дуже просто виражаються через інваріанти \ Delta, \; D, \; I і коріння характеристичного рівняння \ Lambda_1 \ geqslant \ lambda_2 (Див. вище розділ "Характеристична квадратична форма і характеристичне рівняння").

Вид кривої Канонічне рівняння Інваріанти
Невироджені криві ( \ Delta \ ne0 )
Еліпс \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1, \; \; \ begin {cases} a ^ 2 = - \ frac {1} {\ lambda_2 } \ frac {\ Delta} {D} = - \ frac {\ Delta} {\ lambda_1 \ lambda ^ 2_2} \ \ b ^ 2 = - \ frac {1} {\ lambda_1} \ frac {\ Delta} {D } = - \ frac {\ Delta} {\ lambda ^ 2_1 \ lambda_2} \ end {cases}\ Begin {array} {l} \ Delta =-a ^ 4b ^ 4 \ \ D = a ^ 2b ^ 2 \ \ I = a ^ 2 + b ^ 2 \ end {array}
Гіпербола \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1, \; \; \ begin {cases} a ^ 2 = - \ frac {1} {\ lambda_1 } \ frac {\ Delta} {D} = - \ frac {\ Delta} {\ lambda ^ 2_1 \ lambda_2} \ \ b ^ 2 = \ frac {1} {\ lambda_2} \ frac {\ Delta} {D} = \ frac {\ Delta} {\ lambda_1 \ lambda ^ 2_2} \ end {cases}\ Begin {array} {l} \ Delta = a ^ 4b ^ 4 \ \ D =-a ^ 2b ^ 2 \ \ I = b ^ 2 - a ^ 2 \ end {array}
Парабола y ^ 2 = 2px, \; \; p = \ frac {1} {I} \ sqrt {- \ frac {\ Delta} {I}} = \ frac {1} {\ lambda_1} \ sqrt {- \ frac {\ Delta} {\ lambda_1}}> 0, \; \; \ lambda_2 = 0\ Begin {array} {l} \ Delta = p ^ 2 \ \ D = 0 \ \ I = 1 \ end {array}
Вироджені криві ( Δ = 0 )
Точка \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 0\ Begin {array} {l} \ Delta = 0 \ \ D = a ^ 2b ^ 2 \ \ I = a ^ 2 + b ^ 2 \ end {array}
Дві пересічні прямі \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 0\ Begin {array} {l} \ Delta = 0 \ \ D =-a ^ 2b ^ 2 \ \ I = b ^ 2 - a ^ 2 \ end {array}
Дві паралельні прямі \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} = 1\ Begin {array} {l} \ Delta = 0 \ \ D = 0 \ \ I = 1 \ end {array}
Одна пряма x 2 = 0 \ Begin {array} {l} \ Delta = 0 \ \ D = 0 \ \ I = 1 \ end {array}

Для центральної кривої в канонічному вигляді її центр \ Left (x_0, \; y_0 \ right) знаходиться на початку координат.


7.3. Через ексцентриситет

Канонічне рівняння будь невиродженої кривої другого порядку за допомогою відповідного перетворення початку координат може бути приведене до вигляду

y ^ 2 = 2px-(1 - \ varepsilon ^ 2) x ^ 2 \ \ (p> 0).

У цьому випадку крива проходить через початок нової системи координат, а вісь Ox є віссю симетрії кривої. Дане рівняння виражає той факт, що невироджених крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких \ Varepsilon \ geqslant 0 ( ексцентриситет) від даної точки (фокуса) і від даної прямої (директриси) постійно. Крім того, при \ Varepsilon = 0 крива є колом, при \ Varepsilon <1 - Еліпсом, при \ Varepsilon = 1 - Параболою, при \ Varepsilon> 1 - Гіперболою.

Рівняння директриси кривої виражається рівнянням x = - \ frac {p} {\ varepsilon \ left (1 + \ varepsilon \ right)}, а координати фокусу x = \ frac {p} {1 + \ varepsilon}, \; \; y = 0. Директриса перпендикулярна осі симетрії, що проходить через фокус і вершину кривої (фокальна вісь). Відстань між фокусом і директрисою одно \ Frac {p} {\ varepsilon}.

Якщо крива другого порядку центральна (еліпс або гіпербола), то пряма

x = \ frac {p} {1 - \ varepsilon ^ 2} = a

є віссю симетрії і, отже, крива має два фокуси і дві директриси.

Параметр p називається фокальним параметром і дорівнює половині довжини хорди, що проходить через фокус і перпендикулярній до осі фокальній (фокальна хорда).


7.4. Полярні координати

Якщо взяти в якості полюса полярної системи координат \ Left (\ rho, \ phi \ right)фокус невиродженої кривої другого порядку, а в якості полярної осі - її вісь симетрії, то в полярних координатах ρ , φ рівняння кривої матиме вигляд

\ Rho = \ frac {p} {1 + \ varepsilon \ cos \ phi}.

7.5. Крива, задана своїми п'ятьма точками

Крива другого порядку цілком визначається п'ятьма своїми точками, якщо ніякі чотири з них не лежать на одній прямій. Рівняння кривої, що проходить через точки \ Left (x_1, y_1 \ right),\ Left (x_2, y_2 \ right),\ Left (x_3, y_3 \ right),\ Left (x_4, y_4 \ right) і \ Left (x_5, y_5 \ right):

\ Begin {vmatrix} x ^ 2 & xy & y ^ 2 & x & y & 1 \ \ x_1 ^ 2 & x_1y_1 & y_1 ^ 2 & x_1 & y_1 & 1 \ \ x_2 ^ 2 & x_2y_2 & y_2 ^ 2 & x_2 & y_2 & 1 \ \ x_3 ^ 2 & x_3y_3 & y_3 ^ 2 & x_3 & y_3 & 1 \ \ x_4 ^ 2 & x_4y_4 & y_4 ^ 2 & x_4 & y_4 & 1 \ \ x_5 ^ 2 & x_5y_5 & y_5 ^ 2 & x_5 & y_5 & 1 \ end {vmatrix} = 0.

Крива, задана п'ятьма точками вироджується в тому і тільки в тому випадку, коли три із заданих точок лежать на одній прямій.


7.6. Дотичні і нормалі

Рівняння дотичній до кривої другого порядку f (x, y) в її точці \ Left (x_1, y_1 \ right) має вигляд:

\ Left (a_ {11} x_1 + a_ {12} y_1 + a_ {13} \ right) x + \ left (a_ {12} x_1 + a_ {22} y_1 + a_ {23} \ right) y + \ left (a_ {13} x_ {1} + a_ {23} y_ {1} + a_ {33} \ right) = 0.

Рівняння нормалі до кривої другого порядку в точці \ Left (x_1, y_1 \ right) має вигляд

\ Frac {x-x_ {1}} {a_ {11} x_ {1} + a_ {12} y_ {1} + a_ {13}} = \ frac {y-y_ {1}} {a_ {12} x_ {1} + a_ {22} y_ {1} + a_ {23}}.


7.7. Полюси і поляри

Рівняння

\ Left (a_ {11} x_1 + a_ {12} y_1 + a_ {13} \ right) x + \ left (a_ {12} x_1 + a_ {22} y_1 + a_ {23} \ right) y + \ left (a_ {13} x_ {1} + a_ {23} y_ {1} + a_ {33} \ right) = 0

крім дотичній опряделяет пряму, звану поляр точки \ Left (x_1, y_1 \ right) щодо кривої другого порядку, незалежно від того, чи лежить ця точка на кривій чи ні. При цьому точка \ Left (x_1, y_1 \ right) називається полюсом цієї прямої. Поляри точки кривої є її дотична в цій точці.

Теореми про полюсах і поляр:

  1. Якщо пряма, проведена через полюс P, перетинає поляри в точці Q, а криву другого порядку - в точках R 1 і R 2, то точки P і Q гармонійно поділяють відрізок R 1 R 2, тобто виконується умова
    \ Frac {R_1P} {PR_2} =- \ frac {R_1Q} {QR_2}.
  2. Якщо точка лежить на деякій прямій, то її поляри проходить через полюс цієї прямої. Якщо пряма проходить через деяку точку, то її полюс лежить на поляр цієї точки.
  3. Діаметр кривої другого порядку є поляри нескінченно віддаленої точки, через яку проходять пов'язані йому хорди, а центр кривої є полюс нескінченно віддаленої прямої.
  4. Фокус кривої є центр пучка, що володіє тим властивістю, що полюс будь-якої його прямий належить перпендикулярній до неї прямій пучка. Діректрісса є поляри фокуса.

З цих тверджень, зокрема, випливає, що:

  1. якщо через точку можна провести дві дотичні до кривої, то то поляри цієї точки проходить через точки дотику;
  2. дотичні до кривої в кінцях діаметра паралельні сполученим йому хордам;
  3. точка перетину дотичних до кривої в кінцях будь-якій її хорди, що проходить через фокус, лежить на діректріссе;
  4. кожна хорда, що проходить через фокус, перпендикулярна до прямої, проведеної через її фокус і точку перетину дотичних в кінцях хорди.

8. Теореми, пов'язані з кривими другого порядку

  • Теорема Паскаля : точки перетину протилежних сторін шестикутника, вписаного в криву другого порядку, лежать на одній прямій.
  • Теорема Бріаншона : діагоналі, що проходять через протилежні вершини шестикутника, описаного близько кривої другого порядку, перетинаються в одній точці.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Кібернетика другого порядку
Логіка другого порядку
Поверхня другого порядку
Параметр порядку
Логіка першого порядку
Типологія порядку слів
Життєпис Едуарда Другого
Доменне ім'я другого рівня
© Усі права захищені
написати до нас