Група називається кінцевою p -Групою, якщо вона має порядок, рівний деякій мірі простого числа.


1. Основні властивості кінцевих p-груп

Нехай P - Кінцева p -Група, тоді


2. Деякі класи кінцевих p-груп

У даному розділі описані визначення і властивості деяких класів кінцевих p -Груп, які часто розглядаються в науковій літературі.

2.1. p-групи максимального класу

Кінцева p -Група порядку p ^ n називається групою максимального класу, якщо її щабель нільпотентні дорівнює n-1 .

Якщо P - Кінцева p -Група максимального класу, то P '= \ Phi (P) і | Z (P) | = p .

Єдиними 2-групами порядку 2 ^ n максимального класу є: діедральная група D_ {2 ^ n} , Узагальнена група кватерніонів Q_ {2 ^ n} і полудіедральная група SD_ {2 ^ n} .

На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p> 2 значно складніший.


2.2. p-центральні p-групи

Кінцева p -Група називається p -Центральній, якщо \ Omega_1 (P) \ leq Z (P) . Поняття двояко, в деякому розумінні, поняттю потужної p -Групи.

2.3. Потужні p-групи

Кінцева p -Група називається потужною, якщо [P, P] \ leq P ^ p при p \ neq 2 і [P, P] \ leq P ^ 4 при p = 2 . Поняття двояко, в деякому розумінні, поняттю p -Центральній p -Групи.

2.4. Регулярні p-групи

Кінцева p -Група P називається регулярною, якщо для будь-яких x, y \ in P виконано (Xy) ^ p = x ^ p y ^ p c ^ p , Де c \ in P ' . Регулярними будуть, наприклад, всі абелеві p -Групи. Група не є регулярною, називається нерегулярною.

  • Будь підгрупа і факторгруппамі регулярної p -Групи регулярна.
  • Кінцева p -Група регулярна, якщо будь-яка її підгрупа, породжена двома елементами регулярна.
  • Кінцева p -Група порядку не більшого p ^ p є регулярною.
  • Кінцева p -Група клас нільпотентні якої менше p є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентні 2 при p> 2 .
  • Будь кінцева неабелева 2-група є нерегулярною.

3. Кінцеві p-групи невеликих порядків

3.1. Число різних p -Груп порядку p ^ n

  • Число неізоморфних груп порядку p дорівнює 1: група C_ {p} .
  • Число неізоморфних груп порядку p ^ 2 дорівнює 2: групи C_ {p ^ 2} і C_ {p} \ times C_ {p} .
  • Число неізоморфних груп порядку p ^ 3 рівне 5, з них три абелеві групи: C_ {p ^ 3} , C_ {p ^ 2} \ times C_ {p} , C_ {p} \ times C_ {p} \ times C_ {p} і дві неабелеви: при p> 2 - E_ {p ^ 3} ^ + і E_ {p ^ 3} ^ - ; При p = 2 - D_4 , Q_8 .
  • Число неізоморфних груп порядку p ^ 4 дорівнює 15 при p> 2 , Число груп порядку 2 ^ 4 дорівнює 14.
  • Число неізоморфних груп порядку p ^ 5 одно 2p + 61 + 2GCD (p-1, 3) + GCD (p-1, 4) при p \ geq 5 . Кількість груп порядку 2 ^ 5 одно 51, число груп порядку 3 ^ 5 одно 67.
  • Число неізоморфних груп порядку p ^ 6 одно 3p ^ 2 + 39p + 344 + 24GCD (p-1, 3) + 11GCD (p-1, 4) + 2GCD (p-1, 5) при p \ geq 5 . Кількість груп порядку 2 ^ 6 одно 267, число груп порядку 3 ^ 6 одно 504.
  • Число неізоморфних груп порядку p ^ 7 одно при p> 5 . Кількість груп порядку 2 ^ 7 одно 2328, число груп порядку 3 ^ 7 одно 9310, число груп порядку 5 ^ 7 одно 34297.

3.2. p-групи порядку p ^ n , Асимптотика

При n \ rightarrow \ infty число неізоморфних груп порядку p ^ n асимптотично одно p ^ {(2/27 + O (n ^ {-1 / 3})) n ^ 3} .

4. Знамениті проблеми теорії кінцевих p-груп

4.1. Група автоморфізмів кінцевої p-групи

Для груп p - автоморфізмів кінцевої p -Групи існують нескладні верхні оцінки, однак оцінки знизу набагато складніше. Протягом понад півстоліття залишається відкритою наступна гіпотеза:

  • Нехай P є нециклічні p -Групою порядку | P | \ geq p ^ 3 , Тоді | P | \ leq | Syl_p (Aut (P)) | .

Ця гіпотеза підтверджена для великого класу p -Груп: абелевих груп, для всіх груп порядків не більше p ^ 7 , Груп максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки не знайдено.


4.2. Гіпотеза Хігмена

Дж. Томпсоном була доведена відома теорема, яка стверджує, що кінцева група з регулярним автоморфізмом простого порядку q нільпотентні.

  • Нехай група P володіє регулярним автоморфізмом простого порядку q . Тоді її клас нільпотентні дорівнює cl (P) = \ frac {q ^ 2-1} {4} .

Поки доведені лише значно слабші оцінки: cl (P) <q ^ q (Кострикін, Крекніна).


4.3. Ослаблена гіпотеза Бернсайда

Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що якщо є група з m створюючими і періодом n (Тобто всі її елементи x задовольняють співвідношенню x ^ n = 1 ), То вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через B (m, n) . Тоді всі інші групи з таким же властивістю будуть її фактор-групами. Дійсно, як легко показати група B (m, 2) є елементарною абелевих 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи B (m, 3) дорівнює 3 ^ {\ frac {m (m ^ 2 +5)} {6}} . Однак, як показали Новиков і Адян, при m \ geq 2 і при будь-якій непарній n \ geq 4381 група B (m, n) нескінченна.

Ослаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки кінцевих m -Породжених груп періоду n обмежені. Ця гіпотеза була доведена Юхимом Зельманова. Для кінцевих p груп вона означає, що існує лише кінцеве число p груп даної експоненти і з даним числом утворюють.


4.4. Нерегулярні p-групи

Класифікація нерегулярних p-груп порядку p ^ {p +1} .

Література

  • Белоногов В. А. Задачник з теорії груп - М .: Наука, 2000.
  • Вінберг Е. Б. Курс алгебри. - 3-е изд. - М .: Факторіал Прес, 2002. - 544 с. - 3000 екз. - ISBN 5-88688-060-7
  • Хол М. Теорія груп. Видавництво іноземної літератури - М ., 1962.
  • Хухра E.І. O p-групах автоморфізмів абелевих p-груп - Алгебра та логіка, 39, N 3 (2000), 359-371.
  • Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
  • Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
  • Gorenstein D. Finite groups - NY: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
  • Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
  • Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506-515.
  • Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups - Freiburg Univ., 1996, preprint.
  • Weigel T. p-Central groups and Poincare duality - Freiburg Univ., 1996, preprint.