Кінцева p-група

Група називається кінцевою -Групою, якщо вона має порядок, рівний деякій мірі простого числа.

1. Основні властивості кінцевих p-груп

Нехай - Кінцева -Група, тоді

P - нільпотентні.
, Де - центр групи P.
Для будь-якого $1 \ leq k <n$ в існує нормальна підгрупа порядку .
Якщо нормальна в , То $| H \ cap Z (P) |> 1$ .
$P '\ leq \ Phi (P)$ .
$P / \ Phi (P) \ cong E_ {p ^ d}$ .

2. Деякі класи кінцевих p-груп

У даному розділі описані визначення і властивості деяких класів кінцевих -Груп, які часто розглядаються в науковій літературі.

2.1. p-групи максимального класу

Кінцева -Група порядку p ^ n називається групою максимального класу, якщо її щабель нільпотентні дорівнює n-1 .

Якщо - Кінцева -Група максимального класу, то $P '= \ Phi (P)$ і | Z (P) | = p .

Єдиними 2-групами порядку 2 ^ n максимального класу є: діедральная група $D_ {2 ^ n}$ , Узагальнена група кватерніонів $Q_ {2 ^ n}$ і полудіедральная група $SD_ {2 ^ n}$ .

На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p> 2 значно складніший.

2.2. p-центральні p-групи

Кінцева -Група називається -Центральній, якщо $\ Omega_1 (P) \ leq Z (P)$ . Поняття двояко, в деякому розумінні, поняттю потужної -Групи.

2.3. Потужні p-групи

Кінцева -Група називається потужною, якщо $[P, P] \ leq P ^ p$ при $p \ neq 2$ і $[P, P] \ leq P ^ 4$ при p = 2 . Поняття двояко, в деякому розумінні, поняттю -Центральній -Групи.

2.4. Регулярні p-групи

Кінцева -Група називається регулярною, якщо для будь-яких $x, y \ in P$ виконано (Xy) ^ p = x ^ p y ^ p c ^ p , Де $c \ in P '$ . Регулярними будуть, наприклад, всі абелеві -Групи. Група не є регулярною, називається нерегулярною.

Будь підгрупа і факторгруппамі регулярної -Групи регулярна.
Кінцева -Група регулярна, якщо будь-яка її підгрупа, породжена двома елементами регулярна.
Кінцева -Група порядку не більшого є регулярною.
Кінцева -Група клас нільпотентні якої менше є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентні 2 при .
Будь кінцева неабелева 2-група є нерегулярною.

3. Кінцеві p-групи невеликих порядків

3.1. Число різних -Груп порядку

Число неізоморфних груп порядку дорівнює 1: група $C_ {p}$ .
Число неізоморфних груп порядку дорівнює 2: групи $C_ {p ^ 2}$ і $C_ {p} \ times C_ {p}$ .
Число неізоморфних груп порядку рівне 5, з них три абелеві групи: $C_ {p ^ 3}$ , $C_ {p ^ 2} \ times C_ {p}$ , $C_ {p} \ times C_ {p} \ times C_ {p}$ і дві неабелеви: при - $E_ {p ^ 3} ^ +$ і $E_ {p ^ 3} ^ -$ ; При p = 2 - , .
Число неізоморфних груп порядку дорівнює 15 при , Число груп порядку дорівнює 14.
Число неізоморфних груп порядку одно при $p \ geq 5$ . Кількість груп порядку одно 51, число груп порядку одно 67.
Число неізоморфних груп порядку одно при $p \ geq 5$ . Кількість груп порядку одно 267, число груп порядку одно 504.
Число неізоморфних груп порядку одно при . Кількість груп порядку одно 2328, число груп порядку одно 9310, число груп порядку одно 34297.

3.2. p-групи порядку , Асимптотика

При $n \ rightarrow \ infty$ число неізоморфних груп порядку p ^ n асимптотично одно $p ^ {(2/27 + O (n ^ {-1 / 3})) n ^ 3}$ .

4. Знамениті проблеми теорії кінцевих p-груп

4.1. Група автоморфізмів кінцевої p-групи

Для груп - автоморфізмів кінцевої -Групи існують нескладні верхні оцінки, однак оцінки знизу набагато складніше. Протягом понад півстоліття залишається відкритою наступна гіпотеза:

Нехай є нециклічні -Групою порядку $| P | \ geq p ^ 3$ , Тоді $| P | \ leq | Syl_p (Aut (P)) |$ .

Ця гіпотеза підтверджена для великого класу -Груп: абелевих груп, для всіх груп порядків не більше p ^ 7 , Груп максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки не знайдено.

4.2. Гіпотеза Хігмена

Дж. Томпсоном була доведена відома теорема, яка стверджує, що кінцева група з регулярним автоморфізмом простого порядку нільпотентні.

Нехай група володіє регулярним автоморфізмом простого порядку . Тоді її клас нільпотентні дорівнює $cl (P) = \ frac {q ^ 2-1} {4}$ .

Поки доведені лише значно слабші оцінки: cl (P) <q ^ q (Кострикін, Крекніна).

4.3. Ослаблена гіпотеза Бернсайда

Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що якщо є група з створюючими і періодом (Тобто всі її елементи задовольняють співвідношенню x ^ n = 1 ), То вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через B (m, n) . Тоді всі інші групи з таким же властивістю будуть її фактор-групами. Дійсно, як легко показати група B (m, 2) є елементарною абелевих 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи B (m, 3) дорівнює $3 ^ {\ frac {m (m ^ 2 +5)} {6}}$ . Однак, як показали Новиков і Адян, при $m \ geq 2$ і при будь-якій непарній $n \ geq 4381$ група B (m, n) нескінченна.

Ослаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки кінцевих -Породжених груп періоду обмежені. Ця гіпотеза була доведена Юхимом Зельманова. Для кінцевих груп вона означає, що існує лише кінцеве число груп даної експоненти і з даним числом утворюють.

4.4. Нерегулярні p-групи

Класифікація нерегулярних p-груп порядку $p ^ {p +1}$ .

Література

Белоногов В. А. Задачник з теорії груп - М .: Наука, 2000.
Вінберг Е. Б. Курс алгебри. - 3-е изд. - М .: Факторіал Прес, 2002. - 544 с. - 3000 екз. - ISBN 5-88688-060-7
Хол М. Теорія груп. Видавництво іноземної літератури - М ., 1962.
Хухра E.І. O p-групах автоморфізмів абелевих p-груп - Алгебра та логіка, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
Gorenstein D. Finite groups - NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506-515.
Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups - Freiburg Univ., 1996, preprint.
Weigel T. p-Central groups and Poincare duality - Freiburg Univ., 1996, preprint.