Логарифм

План:

Введення

1 Речовий логарифм
2 Комплексний логарифм
3 Історичний нарис
- 3.1 Речовий логарифм
- 3.2 Комплексний логарифм
4 Логарифмічні таблиці
5 Програми

Література

Примітки

Введення

Рис. 1. Графіки логарифмічних функцій

Логарифм числа b за основою a (від греч. λόγος - "Слово", "ставлення" і ἀριθμός - "Число" ^[1]) визначається як показник ступеня, в яку треба звести підставу a, щоб отримати число b. Позначення: $\ Log_a b \,$ . З визначення випливає, що записи $\ Log_a b = x \,$ і $a ^ x = b \, \!$ рівносильні.

Наприклад, $\ Log_2 8 = 3 \,$ , Тому що $2 ^ 3 = 8 \, \!$ .

1. Речовий логарифм

Логарифм дійсного числа log _a b має сенс при $a> 0, a \ ne 1, b> 0$ . Як відомо, показова функція y = a ^x монотонна і кожне значення приймає лише один раз, причому діапазон її значень містить всі позитивні речові числа. Звідси випливає, що значення речового логарифма позитивного числа вcегда існує і визначено однозначно.

Найбільш широке застосування знайшли такі види логарифмів.

Натуральні: $\ Ln \, a$ , Підстава: e (число Ейлера).
Десяткові: $\ Lg \, a$ , Підстава: число 10.
Двійкові: $\ Log_2 \, a$ або $\ Operatorname {lb} \, a$ , Підстава: число 2. Вони застосовуються в теорії інформації та інформатики.

1.1. Властивості

Основне логарифмічне тотожність: $a ^ {\ log_a b} = b$
$\ Log_a a = 1; \; \ log_a 1 = 0$
Логарифм твори: $\ Log_a (bc) \ = \ log_a | b | + \ log_a | c | \ quad (bc> 0)$

Доказ

Доведемо, що $a ^ {\ log_a | b | + \ log_a | c |} = bc$ .

$a ^ {\ log_a | b | + \ log_a | c |} = a ^ {\ log_a | b |} \ cdot a ^ {\ log_a | c |} = | b | \ cdot | c | = | b \ cdot c | = bc$ (Так як за умовою bc> 0). ■

Логарифм частки від розподілу: $\ Log_a \ frac {b} {c} = \ log_a | b | - \ log_a | c | \ quad \ left (\ frac {b} {c}> 0 \ right)$

Доказ

Доведемо, що $a ^ {\ log_a | b | - \ log_a | c |} = \ frac {b} {c}$

$a ^ {\ log_a | b | - \ log_a | c |} = \ frac {a ^ {\ log_a | b |}} {a ^ {\ log_a | c |}} = \ frac {| b |} {| c |} = \ left | \ frac {b} {c} \ right | = \ frac {b} {c}$ (Так як за умовою $\ Frac {b} {c}> 0)$ ■

Заміна підстави логарифма: $\ Log_a b = \ frac {\ log_c b} {\ log_c a}$

Доказ

Використовуємо для доказу тотожність $a ^ {\ log_a b} = b$ . Логаріфміруя обидві частини тотожності по підставі c. Отримуємо:

$\ Log_c a ^ {\ log_a b} = \ log_c b \ Leftrightarrow \ log_a b \ cdot \ log_c a = log_c b \ Leftrightarrow \ log_a b = \ frac {\ log_c b} {\ log_c a}$ ■

Логарифм ступеня: $\ Log_a (b ^ p) = p \ \ log_a | b | \ quad (b ^ p> 0)$

Доказ

Доведемо, що $a ^ {p \ \ log_a | b |} = b ^ p$ .

$a ^ {p \ \ log_a | b |} = \ left (a ^ {\ log_a | b |} \ right) ^ p = | b | ^ p = \ left | b ^ p \ right | = b ^ p$ (Так як b ^p> 0 за умовою). ■

Логарифм кореня: $\ Log_a \ sqrt [k \,] {x} = \ left (\ frac {1} {k} \ right) log_a {x}$

Логарифм з поважним основою: $\ Log_ {a ^ k} b = \ frac {1} {k} \ log_a b$

Доказ

Доведемо, що $(A ^ k) ^ {\ frac {1} {k} \ log_a b} = b$

$(A ^ k) ^ {\ frac {1} {k} \ log_a b} = a ^ {k \ cdot \ frac {1} {k} \ log_a b} = a ^ {\ log_a b} = b$ ■

${\ Log_ {a ^ q} {b}} ^ p = \ frac {p} {q} \ log_a {b}$
$\ Log_ {a ^ k} b ^ k = \ log_a b$
$\ Log_a b = \ frac {1} {\ log_b a}$
$a ^ {log_c d} = d ^ {log_c a}$

Доказ

Логаріфміруя ліву і праву частини за основою c :

Ліва частина: $\ Log_c d \ cdot \ log_c a$

Права частина: $\ Log_c a \ cdot \ log_c d$

Рівність виразів очевидно. Т. к. логарифми рівні, то в силу монотонності логарифмічною функції рівні і самі вирази. ■

1.2. Логарифмічна функція

Якщо розглядати логаріфміруемое число як змінну, ми отримаємо логарифмічну функцію y = log _a x (Див. рис. 1). Вона визначена при $~ A> 0; \ a \ ne 1; x> 0$ . Область значень: $E (y) = (- \ infty; + \ infty)$ .

Функція є строго зростаючої при a> 1 і строго спадною при 0 <1 . Графік будь логарифмічною функції проходить через точку (1, 0) . Функція безупинна і необмежено дифференцируема всюди в своїй області визначення.

Пряма x = 0 є лівою вертикальної асимптотой, оскільки $\ Lim_ {x \ to 0 +0} \ log_a x = - \ infty$ при a> 1 і $\ Lim_ {x \ to 0 +0} \ log_a x = + \ infty$ при 0 <1 .

Похідна логарифмічної функції дорівнює:

$\ Frac {d} {dx} \ ln x = \ frac {1} {x}$
$\ Frac {d} {dx} \ log_a x = \ frac {1} {x \ cdot \ ln a}$

Доказ ^[2]

I. Доведемо, що $(\ Ln x) '= \ frac {1} {x}$

Запишемо тотожність e ^{ln x} = x і продиференціюємо його ліву і праву частини

Отримуємо, що $e ^ {\ ln x} \ cdot (\ ln x) '= 1$ , Звідки випливає, що $(\ Ln x) '= \ frac {1} {e ^ {\ ln x}} = \ frac {1} {x}$

II. Доведемо, що $(\ Log_a x) '= \ frac {1} {x \ cdot \ ln a}$

$(\ Log_a x) '= \ left (\ frac {\ ln x} {\ ln a} \ right)' = \ frac {1} {\ ln a} (\ ln x) '= \ frac {1} { x \ cdot \ ln a}$ ■

Логарифмічна функція здійснює ізоморфізм мультиплікативної групи позитивних речовинних чисел і аддитивной групи всіх дійсних чисел.

1.3. Натуральні логарифми
Зв'язок з десятковим логарифмом: $\ Ln x \ approx 2 {,} 30259 \ \ lg x; \ \ \ lg x \ approx 0 {,} 43429 \ \ ln x$ .
Як зазначено вище, для похідною натурального логарифма справедлива проста формула:
$(\ Ln x) '= \ frac {1} {x}$
З цієї причини в математичних дослідженнях переважно використовують саме натуральні логарифми. Вони нерідко з'являються при вирішенні диференціальних рівнянь, дослідженні статистичних залежностей (наприклад, розподілу простих чисел) і т. п.
Невизначений інтеграл від натурального логарифма легко знайти інтегруванням по частинах :
$\ Int {\ ln x \, \ mathrm dx} = x \ ln x-x + C$
Розклад в ряд Тейлора може бути представлений таким чином:
при $-1 <X \ leqslant 1$ справедливо рівність
$\ Ln (1 + x) = x - \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} - \ frac {x ^ 4} {4} + \ dots$ (1)
Зокрема,
$\ Ln 2 = 1 - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} - \ frac {1} {4} + \ dots$
Формула (1) не має великої практичної цінності через те, що ряд дуже повільно сходиться і значення x обмежено досить вузьким діапазоном. Проте неважко отримати з неї більш зручну формулу:
$\ Ln \ left (\ frac {1 + x} {1-x} \ right) = 2 \ left (x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} + \ frac {x ^ 7} {7} + \ dots \ right)$ (2)
Цей ряд сходиться швидше, а крім того, ліва частина формули тепер може висловити логарифм будь-якого позитивного числа.

1.4. Десяткові логарифми

Рис. 2а. Логарифмічна шкала

Рис. 2б. Логарифмічна шкала з позначками
Логарифми по підставі 10 (позначення: lg a) до винаходу калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Нерівномірне шкала десяткових логарифмів зазвичай наноситься і на логарифмічні лінійки. Подібна шкала використовується в багатьох областях науки, наприклад:
Фізика - інтенсивність звуку ( децибели).
Астрономія - шкала яскравості зірок.
Хімія - активність водневих іонів ( pH).
Сейсмологія - шкала Ріхтера.
Теорія музики - нотна шкала, по відношенню до частот нотних звуків.
Історія - логарифмічна шкала часу.
Логарифмічна шкала також широко застосовується для виявлення показника ступеня в статечних залежностях і коефіцієнта в показнику експоненти. При цьому графік, побудований в логарифмічному масштабі по одній або двох осях, приймає вигляд прямої, простіший для дослідження.

2. Комплексний логарифм
2.1. Визначення та властивості
Для комплексних чисел логарифм визначається так само, як речовинний. На практиці використовується майже виключно натуральний комплексний логарифм, який позначимо $\ Mathrm {Ln} \, w$ і визначимо як безліч всіх комплексних чисел z таких, що e ^z = w . Комплексний логарифм існує для будь-якого $w \ ne 0$ , І його речова частина визначається однозначно, в той час як уявна має нескінченну безліч значень. З цієї причини його називають багатозначною функцією. Якщо уявити w в показовій формі:
$w = r \ cdot e ^ {i \ varphi}$ ,
то логарифм $\ Mathrm {Ln} \, w$ знаходиться за формулою:
$\ Mathrm {Ln} \, w = \ {\ ln r + i \ left (\ varphi + 2 \ pi k \ right), \, k \ in \ Z \}.$
Тут $\ Ln \, r$ - Речовий логарифм, r = | w | , k - Довільне ціле число. Значення, що отримується при k = 0 , Називається головним значенням комплексного натурального логарифма; прийнято брати в ньому значення аргументу $\ Varphi$ в інтервалі (- Π, π] . Відповідна (вже однозначна) функція називається головною гілкою логарифма і позначається $\ Ln \, z$ . Іноді через $\ Ln \, z$ також позначають значення логарифма, що лежить не на головній гілки.
З формули слід:
Речова частина логарифма визначається за формулою:
$\ Operatorname {Re} (\ ln (x + iy)) = \ frac {1} {2} \ ln (x ^ 2 + y ^ 2)$
Логарифм негативного числа знаходиться за формулою:
$\ Ln (-x) = \ ln x + i \ pi (2 k + 1) \ qquad (x> 0, \ k = 0, \ pm 1, \ pm 2 \ dots)$
Оскільки комплексні тригонометричні функції пов'язані з експонентою ( формула Ейлера), то комплексний логарифм як зворотна до експоненті функція пов'язаний з оберненими тригонометричними функціями. Приклад такого зв'язку:
$\ Arcsin z =-i \ ln (i z + \ sqrt {1-z ^ 2})$

2.2. Приклади
Наведемо головне значення логарифма для деяких аргументів:
$~ \ Ln (-1) = i \ pi$
$\ Ln (i) = i \ frac {\ pi} {2}$
$\ Ln (-i) =-i \ frac {\ pi} {2}$
Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, беручи до уваги, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не слід рівність цих висловів. Приклад помилкового міркування:
i π = ln (- 1) = ln ((- i) ²⁾ = 2ln (- i) = 2 (- i π / 2) = - i π - Явна безглуздість.
Зазначимо, що зліва стоїть головне значення логарифма, а праворуч - значення з нижчих гілки ( k = - 1 ). Причина помилки - необережне використання властивості $\ Log_a {(b ^ p)} = p ~ \ log_a b$ , Яке, взагалі кажучи, має на увазі в комплексному випадку весь нескінченний набір значень логарифма, а не тільки головне значення.

2.3. Аналітичне продовження

Рис. 3. Комплексний логарифм (уявна частина)
Логарифм комплексного числа також може бути визначений як аналітичне продовження речового логарифма на всю комплексну площину. Нехай крива Γ починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає негативну частина речовинної осі. Тоді головне значення логарифма в кінцевій точці w кривої Γ можна визначити за формулою:
$\ Ln w = \ int \ limits_ \ Gamma {dz \ over z}$
Якщо Γ - Проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без побоювань, наприклад
$\ Ln (wz) = \ ln w + \ ln z, ~ \ forall z, w \ in \ Gamma \ colon zw \ in \ Gamma$
Якщо дозволити кривої Γ перетинати негативну частину речовинної осі, то перше такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожне наступне перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічною функції (див. малюнок).
З формули аналітичного продовження випливає, що на будь-якої гілки логарифма
$\ Ln 'z = {1 \ over z}$
Для будь-кола S , Що охоплює точку 0 :
$\ Oint \ limits_S {dz \ over z} = 2 \ pi i$
Інтеграл береться в позитивному напрямі ( проти годинникової стрілки). Це тотожність лежить в основі теорії вирахувань.
Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою вищенаведеного ряду (1), узагальненого на випадок комплексного аргументу. Однак з виду розкладання випливає, що в одиниці він дорівнює нулю, тобто ряд відноситься тільки до головної гілки багатозначною функції комплексного логарифма.

2.4. Ріманова поверхню
Комплексна логарифмічна функція - приклад римановой поверхні; її уявна частина (рис. 3) складається з нескінченної кількості гілок, закручених у вигляді спіралі. Ця поверхня однозв'язна; її єдиний нуль (першого порядку) виходить при z = 1 , Особливі точки: z = 0 і $z = \ infty$ (Точки розгалуження нескінченного порядку).
Ріманова поверхню логарифма є універсальної накриває для комплексної площині без точки 0 .

3. Історичний нарис
3.1. Речовий логарифм
Потреба в складних розрахунках в XVI столітті швидко росла, і значна частина труднощів була пов'язана з множенням і діленням багатозначних чисел, а також витяганням коренів. Наприкінці століття кільком математикам, майже одночасно, прийшла в голову ідея: замінити трудомістке множення на просте додавання, зіставивши за допомогою спеціальних таблиць геометричну та арифметичну прогресії, при цьому геометрична буде вихідної. Тоді й розподіл автоматично замінюється на незмірно більш просте і надійне віднімання, а витяг кореня ступеня n зводиться до поділу логарифма подкоренного висловлювання на n. Першим цю ідею опублікував у своїй книзі "Arithmetica integra" Міхаель Штіфель, який, втім, не доклав серйозних зусиль для реалізації своєї ідеї.
В 1614 шотландський математик-аматор Джон Непер опублікував латинською мовою твір під назвою "Опис дивовижної таблиці логарифмів" ( лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). У ньому було короткий опис логарифмів і їх властивостей, а також 8-значні таблиці логарифмів синусів, косинусів і тангенсів, з кроком 1 '. Термін логарифм, запропонований Непером, утвердився в науці. Теорію логарифмів Непер виклав в іншій своїй книзі "Побудова дивовижною таблиці логарифмів" ( лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), Виданої посмертно в 1619 році його сином.
Поняття функції тоді ще не було, і Непер визначив логарифм кінематично, зіставивши рівномірне і логарифмічно-уповільнене рух; наприклад, логарифм синуса він визначив наступним чином ^[3] :
Логарифм даного синуса є число, яке арифметично зростала завжди з тією ж швидкістю, з якою повний синус почав геометрично спадати.
У сучасних позначеннях кінематичну модель Непера можна зобразити диференціальним рівнянням
$\ Frac {dx} {x} = - \ frac {dy} {M}$ ,
де M - масштабний множник, введений для того, щоб значення вийшло цілим числом з потрібною кількістю знаків ( десяткові дроби тоді ще не знайшли широкого застосування). Непер взяв M = 10 000 000.
Строго кажучи, Непер табульованого не ту функцію, яка зараз називається логарифмом. Якщо позначити його функцію LogNap (x), то вона пов'язана з натуральним логарифмом наступним чином:
$\ Operatorname {LogNap} (x) = M \ cdot (\ ln (M) - \ ln (x))$
Очевидно, LogNap (M) = 0, тобто логарифм "повного синуса" є нуль - цього і домагався Непер своїм визначенням. $\ Operatorname {LogNap} (0) = \ infty$ .
Основна властивість логарифма Непера: якщо величини утворюють геометричну прогресію, то їх логарифми утворюють прогресію арифметичну. Однак правила логарифмування для неперово функції відрізнялися від правил для сучасного логарифма.
Наприклад, LogNap (ab) = LogNap (a) + LogNap (b) - LogNap (1).
На жаль, всі значення таблиці Непера містили обчислювальну помилку після шостого знака. Однак це не завадило новою методикою обчислень отримати найширшу популярність, і складанням логарифмічних таблиць зайнялися багато європейських математики, включаючи Кеплера. Вже через 5 років, в 1619 р., лондонський вчитель математики Джон Спайделл ( англ. John Speidell ) Перевидав таблиці Непера, перетворені так, що вони фактично стали таблицями натуральних логарифмів (хоча масштабування до цілих чисел Спайделл зберіг). Термін "натуральний логарифм" запропонував італійський математик П'єтро Менголі ( англ. Pietro Mengoli )) В середині XVI століття ^[4].
У 1620-і роки Едмунд Уінгейт і Вільям Отред винайшли першу логарифмічну лінійку, до появи кишенькових калькуляторів - незамінний інструмент інженера.
Близьке до сучасного розуміння логарифмування - як операції, зворотної зведення в ступінь - вперше з'явилося у Валліса і Йоганна Бернуллі, а остаточно було узаконено Ейлером в XVIII столітті. У книзі "Введення в аналіз нескінченних" ( 1748) Ейлер дав сучасні визначення як показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.
Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

3.2. Комплексный логарифм
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log( − x) = log( x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.
Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей "Энциклопедии" и в других трудах), точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

4. Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы
З властивостей логарифма випливає, що замість трудомісткого множення багатозначних чисел достатньо знайти (за таблицями) і скласти їх логарифми, а потім з тих же таблиць виконати потенціювання, тобто знайти значення результату за його логарифму. Виконання розподілу відрізняється тільки тим, що логарифми віднімаються. Лаплас говорив, що винахід логарифмів "продовжило життя астрономів", багато разів прискоривши процес обчислень.
При перенесенні десяткової коми в числі на n розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на n . Наприклад, lg 8314,63 = lg 8,31463 + 3 . Звідси випливає, що досить скласти таблицю десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10.
Перші таблиці логарифмів опублікував Джон Непер ( 1614), і вони містили тільки логарифми тригонометричних функцій, причому з помилками. Незалежно від нього свої таблиці опублікував Іост Бюрги, друг Кеплера ( 1620). В 1617 оксфордський професор математики Генрі Брігс опублікував таблиці, які вже включали десяткові логарифми чисел самих, від 1 до 1000, з 8 (пізніше - з 14) знаками. Але і в таблицях Брігса виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Вега (1783) з'явилося тільки в 1857 в Берліні (таблиці Бремівера).
У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 за участю Л. Ф. Магницького. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів.
Брадиса В. М. Чотиризначні математичні таблиці. 44-е видання, М., 1973.
Таблиці Брадиса (1921) використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
Вега Г. Таблиці семизначних логарифмів, 4-е видання, М., 1971.
Професійний збірник для точних обчислень.
П'ятизначні таблиці натуральних значень тригонометричних величин, їх логарифмів і логарифмів чисел, 6 видавництво., М.: Наука, 1972.
Таблиці натуральних логарифмів, 2-е видання, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
В даний час з поширенням калькуляторів необхідність у використанні таблиць логарифмів відпала.

5. Програми

Логарифмічна спіраль Наутілуса

Література
Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики - М .: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6.
Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М.: Наука.
Том 1 З найдавніших часів до початку Нового часу. (1970)
Том 2 Математика XVII сторіччя. (1970)
Корн Г., Корн Т. Довідник з математики (для науковців та інженерів) - М .: Наука, 1973.
Успенський Я. В. Нарис історії логарифмів. Петроград, 1923. -78 С.
Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, томи I, II - М .: Наука, 1960.