Знаймо![]() приховати рекламу
| Цей текст може містити помилки.
Примітки Введення Логарифм числа b за основою a (від греч. λόγος - "Слово", "ставлення" і ἀριθμός - "Число" [1]) визначається як показник ступеня, в яку треба звести підставу a, щоб отримати число b. Позначення: Наприклад, 1. Речовий логарифм Логарифм дійсного числа log a b має сенс при Найбільш широке застосування знайшли такі види логарифмів.
1.1. Властивості
Доказ Доведемо, що
Доказ Доведемо, що
Доказ Використовуємо для доказу тотожність
Доказ Доведемо, що
Доказ Доведемо, що Доказ Логаріфміруя ліву і праву частини за основою c :
Рівність виразів очевидно. Т. к. логарифми рівні, то в силу монотонності логарифмічною функції рівні і самі вирази. ■ 1.2. Логарифмічна функція Якщо розглядати логаріфміруемое число як змінну, ми отримаємо логарифмічну функцію y = log a x (Див. рис. 1). Вона визначена при Функція є строго зростаючої при a> 1 і строго спадною при 0 <1 . Графік будь логарифмічною функції проходить через точку (1, 0) . Функція безупинна і необмежено дифференцируема всюди в своїй області визначення. Пряма x = 0 є лівою вертикальної асимптотой, оскільки Похідна логарифмічної функції дорівнює: Доказ [2] I. Доведемо, що Запишемо тотожність e ln x = x і продиференціюємо його ліву і праву частини Отримуємо, що II. Доведемо, що Логарифмічна функція здійснює ізоморфізм мультиплікативної групи позитивних речовинних чисел і аддитивной групи всіх дійсних чисел. 1.3. Натуральні логарифми Зв'язок з десятковим логарифмом: Як зазначено вище, для похідною натурального логарифма справедлива проста формула: З цієї причини в математичних дослідженнях переважно використовують саме натуральні логарифми. Вони нерідко з'являються при вирішенні диференціальних рівнянь, дослідженні статистичних залежностей (наприклад, розподілу простих чисел) і т. п. Невизначений інтеграл від натурального логарифма легко знайти інтегруванням по частинах : Розклад в ряд Тейлора може бути представлений таким чином:
Зокрема,
Формула (1) не має великої практичної цінності через те, що ряд дуже повільно сходиться і значення x обмежено досить вузьким діапазоном. Проте неважко отримати з неї більш зручну формулу:
Цей ряд сходиться швидше, а крім того, ліва частина формули тепер може висловити логарифм будь-якого позитивного числа. 1.4. Десяткові логарифмиЛогарифми по підставі 10 (позначення: lg a) до винаходу калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Нерівномірне шкала десяткових логарифмів зазвичай наноситься і на логарифмічні лінійки. Подібна шкала використовується в багатьох областях науки, наприклад:
Логарифмічна шкала також широко застосовується для виявлення показника ступеня в статечних залежностях і коефіцієнта в показнику експоненти. При цьому графік, побудований в логарифмічному масштабі по одній або двох осях, приймає вигляд прямої, простіший для дослідження. 2. Комплексний логарифм2.1. Визначення та властивості Для комплексних чисел логарифм визначається так само, як речовинний. На практиці використовується майже виключно натуральний комплексний логарифм, який позначимо
то логарифм Тут З формули слід:
Оскільки комплексні тригонометричні функції пов'язані з експонентою ( формула Ейлера), то комплексний логарифм як зворотна до експоненті функція пов'язаний з оберненими тригонометричними функціями. Приклад такого зв'язку: 2.2. ПрикладиНаведемо головне значення логарифма для деяких аргументів: Слід бути обережним при перетвореннях комплексних логарифмів, беручи до уваги, що вони багатозначні, і тому з рівності логарифмів будь-яких виразів не слід рівність цих висловів. Приклад помилкового міркування:
Зазначимо, що зліва стоїть головне значення логарифма, а праворуч - значення з нижчих гілки ( k = - 1 ). Причина помилки - необережне використання властивості 2.3. Аналітичне продовженняЛогарифм комплексного числа також може бути визначений як аналітичне продовження речового логарифма на всю комплексну площину. Нехай крива Γ починається в одиниці, не проходить через нуль і не перетинає негативну частина речовинної осі. Тоді головне значення логарифма в кінцевій точці w кривої Γ можна визначити за формулою: Якщо Γ - Проста крива (без самоперетинів), то для чисел, що лежать на ній, логарифмічні тотожності можна застосовувати без побоювань, наприклад Якщо дозволити кривої Γ перетинати негативну частину речовинної осі, то перше такий перетин переносить результат з гілки головного значення на сусідню гілку, а кожне наступне перетин викликає аналогічне зміщення по гілках логарифмічною функції (див. малюнок). З формули аналітичного продовження випливає, що на будь-якої гілки логарифма Для будь-кола S , Що охоплює точку 0 : Інтеграл береться в позитивному напрямі ( проти годинникової стрілки). Це тотожність лежить в основі теорії вирахувань. Можна також визначити аналітичне продовження комплексного логарифма за допомогою вищенаведеного ряду (1), узагальненого на випадок комплексного аргументу. Однак з виду розкладання випливає, що в одиниці він дорівнює нулю, тобто ряд відноситься тільки до головної гілки багатозначною функції комплексного логарифма. 2.4. Ріманова поверхню Комплексна логарифмічна функція - приклад римановой поверхні; її уявна частина (рис. 3) складається з нескінченної кількості гілок, закручених у вигляді спіралі. Ця поверхня однозв'язна; її єдиний нуль (першого порядку) виходить при z = 1 , Особливі точки: z = 0 і Ріманова поверхню логарифма є універсальної накриває для комплексної площині без точки 0 . 3. Історичний нарис3.1. Речовий логарифмПотреба в складних розрахунках в XVI столітті швидко росла, і значна частина труднощів була пов'язана з множенням і діленням багатозначних чисел, а також витяганням коренів. Наприкінці століття кільком математикам, майже одночасно, прийшла в голову ідея: замінити трудомістке множення на просте додавання, зіставивши за допомогою спеціальних таблиць геометричну та арифметичну прогресії, при цьому геометрична буде вихідної. Тоді й розподіл автоматично замінюється на незмірно більш просте і надійне віднімання, а витяг кореня ступеня n зводиться до поділу логарифма подкоренного висловлювання на n. Першим цю ідею опублікував у своїй книзі "Arithmetica integra" Міхаель Штіфель, який, втім, не доклав серйозних зусиль для реалізації своєї ідеї. В 1614 шотландський математик-аматор Джон Непер опублікував латинською мовою твір під назвою "Опис дивовижної таблиці логарифмів" ( лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). У ньому було короткий опис логарифмів і їх властивостей, а також 8-значні таблиці логарифмів синусів, косинусів і тангенсів, з кроком 1 '. Термін логарифм, запропонований Непером, утвердився в науці. Теорію логарифмів Непер виклав в іншій своїй книзі "Побудова дивовижною таблиці логарифмів" ( лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), Виданої посмертно в 1619 році його сином. Поняття функції тоді ще не було, і Непер визначив логарифм кінематично, зіставивши рівномірне і логарифмічно-уповільнене рух; наприклад, логарифм синуса він визначив наступним чином [3] :
У сучасних позначеннях кінематичну модель Непера можна зобразити диференціальним рівнянням
де M - масштабний множник, введений для того, щоб значення вийшло цілим числом з потрібною кількістю знаків ( десяткові дроби тоді ще не знайшли широкого застосування). Непер взяв M = 10 000 000. Строго кажучи, Непер табульованого не ту функцію, яка зараз називається логарифмом. Якщо позначити його функцію LogNap (x), то вона пов'язана з натуральним логарифмом наступним чином: Очевидно, LogNap (M) = 0, тобто логарифм "повного синуса" є нуль - цього і домагався Непер своїм визначенням. Основна властивість логарифма Непера: якщо величини утворюють геометричну прогресію, то їх логарифми утворюють прогресію арифметичну. Однак правила логарифмування для неперово функції відрізнялися від правил для сучасного логарифма. Наприклад, LogNap (ab) = LogNap (a) + LogNap (b) - LogNap (1). На жаль, всі значення таблиці Непера містили обчислювальну помилку після шостого знака. Однак це не завадило новою методикою обчислень отримати найширшу популярність, і складанням логарифмічних таблиць зайнялися багато європейських математики, включаючи Кеплера. Вже через 5 років, в 1619 р., лондонський вчитель математики Джон Спайделл ( англ. John Speidell ) Перевидав таблиці Непера, перетворені так, що вони фактично стали таблицями натуральних логарифмів (хоча масштабування до цілих чисел Спайделл зберіг). Термін "натуральний логарифм" запропонував італійський математик П'єтро Менголі ( англ. Pietro Mengoli )) В середині XVI століття [4]. У 1620-і роки Едмунд Уінгейт і Вільям Отред винайшли першу логарифмічну лінійку, до появи кишенькових калькуляторів - незамінний інструмент інженера. Близьке до сучасного розуміння логарифмування - як операції, зворотної зведення в ступінь - вперше з'явилося у Валліса і Йоганна Бернуллі, а остаточно було узаконено Ейлером в XVIII столітті. У книзі "Введення в аналіз нескінченних" ( 1748) Ейлер дав сучасні визначення як показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область. 3.2. Комплексный логарифмПервые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log( − x) = log( x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной. Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей "Энциклопедии" и в других трудах), точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание. 4. Логарифмические таблицыЗ властивостей логарифма випливає, що замість трудомісткого множення багатозначних чисел достатньо знайти (за таблицями) і скласти їх логарифми, а потім з тих же таблиць виконати потенціювання, тобто знайти значення результату за його логарифму. Виконання розподілу відрізняється тільки тим, що логарифми віднімаються. Лаплас говорив, що винахід логарифмів "продовжило життя астрономів", багато разів прискоривши процес обчислень. При перенесенні десяткової коми в числі на n розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на n . Наприклад, lg 8314,63 = lg 8,31463 + 3 . Звідси випливає, що досить скласти таблицю десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10. Перші таблиці логарифмів опублікував Джон Непер ( 1614), і вони містили тільки логарифми тригонометричних функцій, причому з помилками. Незалежно від нього свої таблиці опублікував Іост Бюрги, друг Кеплера ( 1620). В 1617 оксфордський професор математики Генрі Брігс опублікував таблиці, які вже включали десяткові логарифми чисел самих, від 1 до 1000, з 8 (пізніше - з 14) знаками. Але і в таблицях Брігса виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Вега (1783) з'явилося тільки в 1857 в Берліні (таблиці Бремівера). У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 за участю Л. Ф. Магницького. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів.
Таблиці Брадиса (1921) використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
Професійний збірник для точних обчислень.
В даний час з поширенням калькуляторів необхідність у використанні таблиць логарифмів відпала. 5. Програми![]() Логарифмічна спіраль Наутілуса Література
Цей текст може містити помилки. Схожі роботи | скачати Схожі роботи: Натуральний логарифм Інтегральний логарифм |