Логарифмічна похідна

Логарифмічна похідна - похідна від натурального логарифма функції.

(\ Ln f) '= \ frac {f'} {f}

Часто застосовується для спрощення знаходження похідної деяких функції, наприклад складно-показових.


1. Застосування

1.1. Похідна складно-показовою функції

Нехай ~ F (x) = u (x) ^ {g (x)} (Для стислості ~ F = u ^ {g} , Де u і g - функції).

Тоді ~ \ Ln f = \ ln u ^ g = g \ ln u , А ~ (\ Ln f) '= (g \ ln u)' = g '\ cdot \ ln u + g \ cdot \ frac {u'} {u} . З іншого боку, (\ Ln f) '= \ frac {f'} {f} , Тобто f '= f \ cdot (\ ln f)' .

Остаточно маємо (U ^ g) '= u ^ g (g' \ cdot \ ln u + g \ cdot \ frac {u '} {u})


1.2. Похідна добутку функцій

Нехай задана функція ~ F (x) = \ prod ^ {n} _ {i = 1} g_i (x) (Для стислості ~ F = \ prod ^ {n} _ {i = 1} g_i ).

Так як ~ F '= f \ cdot (\ ln f)' = \ prod ^ {n} _ {i = 1} g_i (\ ln \ prod ^ {n} _ {j = 1} g_j) '= \ prod ^ { n} _ {i = 1} g_i (\ sum ^ {n} _ {j = 1} \ ln g_j) '= \ prod ^ {n} _ {i = 1} g_i \ sum ^ {n} _ {j = 1} (\ ln g_j) '= \ prod ^ {n} _ {i = 1} g_i \ sum ^ {n} _ {j = 1} \ frac {g_j'} {g_j} .

Остаточно отримуємо: ~ F '= (\ prod ^ {n} _ {i = 1} g_i)' = \ prod ^ {n} _ {i = 1} g_i \ sum ^ {n} _ {j = 1} \ frac {g_j '} {g_j} = f \ cdot \ sum ^ {n} _ {j = 1} \ frac {g_j'} {g_j} .


Можна розписати формулу і прийти до іншої форми:

Якщо ~ F = g_1 \ cdot g_2 \ cdot \ ldots \ cdot g_n , То ~ F '= g_1 \ cdot g_2 \ cdot \ ldots \ cdot g_n \ cdot \ left (\ frac {g_1'} {g_1} + \ frac {g_2 '} {g_2} + \ ldots + \ frac {g_n'} {g_n } \ right)
Розкривши дужки, одержимо: ~ F '= g_1' \ cdot g_2 \ cdot \ ldots \ cdot g_n + g_1 \ cdot g_2 '\ cdot \ ldots \ cdot g_n + \ ldots + g_1 \ cdot g_2 \ cdot \ ldots \ cdot g_n'


Зокрема, якщо ~ F = \ frac {u_1 ^ {\ alpha_1} \ cdot u_2 ^ {\ alpha_2} \ cdot \ ldots \ cdot u_m ^ {\ alpha_m}} {v_1 ^ {\ beta_1} \ cdot v_2 ^ {\ beta_2} \ cdot \ ldots \ cdot v_n ^ {\ beta_n}} , То ~ F '= \ frac {u_1 ^ {\ alpha_1} \ cdot u_2 ^ {\ alpha_2} \ cdot \ ldots \ cdot u_m ^ {\ alpha_m}} {v_1 ^ {\ beta_1} \ cdot v_2 ^ {\ beta_2} \ cdot \ ldots \ cdot v_n ^ {\ beta_n}} \ cdot \ left (\ alpha_1 \ cdot \ frac {u_1 '} {u_1} + \ alpha_2 \ cdot \ frac {u_2'} {u_2} + \ ldots + \ alpha_m \ cdot \ frac {u_m '} {u_m} - \ beta_1 \ cdot \ frac {v_1'} {v_1} - \ beta_2 \ cdot \ frac {v_2 '} {v_2} - \ ldots-\ beta_n \ cdot \ frac {v_n '} {v_n} \ right)


2. Приклад

Знайдемо похідну, \ Frac {df} {dx} від функції f (x) = x ^ x :

\ Frac {df} {dx} = f (\ ln f) '= x ^ x (x \ ln x)' = x ^ x (\ ln x + 1)