Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Логарифмічна спіраль



Логарифмічна спіраль або ізогональная спіраль - особливий вид спіралі, часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis, "дивна спіраль".


Рівняння

В полярних координатах крива може бути записана як

r = ae ^ {b \ theta} \,

або

\ Theta = \ frac {1} {b} \ ln (r / a),

що пояснює назву " логарифмічна ".

У параметричній формі може бути записана як

x (t) = r \ cos t = ae ^ {bt} \ cos t \,,
y (t) = r \ sin t = ae ^ {bt} \ sin t \,,

де a, b - дійсні числа.


Властивості

Побудова спіралі
  • Кут, що складається дотичній в довільній точці логарифмічною спіралі з радіус-вектором точки торкання, постійний і залежить лише від параметра b.
  • Похідна функції \ Mathbf {r} '(\ vartheta) пропорційна параметру b. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли b = 0 \; (\ varphi = \ pi / 2) спіраль вироджується в окружність радіуса a. Навпаки, коли b прагне до нескінченності (\ Varphi \ rightarrow 0), спіраль прагне до прямої лінії. Кут, що доповнює \ Varphi до 90 , називається нахилом спіралі.
  • Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, в результаті цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в певних зростаючих формах, подібних раковинам молюсків і капелюшках соняшників.

Забавні факти

Надгробок Бернуллі
  • Якоб Бернуллі хотів, щоб на його могилі було викарбувано логарифмічна спіраль, але замість цього по помилку на його надгробок помістили Архимедову спіраль. Тим не менш, напис на латині, вигравійована згідно із заповітом навколо спіралі, "EADEM MUTATA RESURGO" ("змінена, я знову воскресав"), свідчить про те, що мається на увазі саме логарифмічна спіраль, яка володіє чудовою властивістю відновлювати свою форму після різних перетворень.


Криві
Визначення
Перетворені
Неплоских
Плоскі алгебраїчні
Конічні перетини
3-й порядок
Лемніската
Апроксимаційні
Циклоїдальні
Плоскі трансцендентні
Спіралі
Циклоїдальні

Циклоїда Епіціклоіда Гіпоціклоіда Трохоіда (Подовжена + Укорочена циклоїда) Епітрохоїді (Подовжена + Укорочена епіціклоіда ( "Роза") Гіпотрохоіда Швидкого спуску ( Брахістохрона, дуга циклоїди)

Інші
Фрактальні
Прості
Топологічні


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Логарифмічна похідна
Спіраль
Архімедова спіраль
Спіраль Ферма
Гіперболічна спіраль
Синусоїдальна спіраль
Альфа-спіраль
© Усі права захищені
написати до нас