Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Лінійний безперервний оператор



План:


Введення


Лінійний безперервний оператор, діючий з X в Y ( A: X \ rightarrow Y ) - Це лінійне відображення з X в Y , Що володіє властивістю безперервності.

Термін лінійний неперервний оператор зазвичай вживають у разі, коли Y \ neq \ mathbb R, \ mathbb C . Якщо Y = \ mathbb R або Y = \ mathbb C , То прийнято використовувати термін лінійний неперервний функціонал [1].

Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль в функціональному аналізі, математичній фізиці і обчислювальної математики.


1. Математичне визначення

Нехай A: X \ rightarrow Y - Лінійний оператор, діючий з векторного простору X в векторний простір Y . Тоді оператор A є безперервним якщо, для будь-якій послідовності \ {X_n \} точок X , З x_n \ rightarrow x_0 слід A x_n \ rightarrow Ax_0 .

Властивості лінійного неперервного оператора A сильно залежать від властивостей просторів X і Y . Наприклад, якщо X - конечномерное простір, то оператор A буде цілком неперервним оператором, область його значень R (A) буде конечномерное лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна представити у вигляді матриці [2].


2. Властивості

  • Всякий лінійний неперервний оператор обмежений. Зворотне вірно не завжди в загальному випадку. Однак, якщо оператор діє в нормованих просторах, то вірно і зворотне - всякий лінійний обмежений оператор безперервний.
  • Якщо лінійний оператор A: X \ rightarrow Y безперервний хоча б в одній точці x \ in X , То він безперервний у кожній точці X .
  • Нехай ряд \ Sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty x_n = s сходиться і A: X \ rightarrow Y - Лінійний неперервний оператор. Тоді справедливо рівність
\ Sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty Ax_n = As .

Це означає, що до збіжним рядах у лінійних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

якщо x_n \ to x слабо, то Ax_n \ to Ax слабо.

3. Пов'язані визначення

  • Лінійний оператор називається обмеженим знизу, якщо \ Exist k> 0, \ forall x \ in X, \ | Ax \ | \ geq k \ | x \ | .

Література


Примітки

  1. Лінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які не мають місця в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.
  2. Також, в скінченновимірних просторі X з базисом \ {X_k \} _ {k = 1} ^ n , Лінійний неперервний оператор A можна представити у вигляді Ax = f_1 (x) x_1 + f_2 (x) x_2 + ... + f_n (x) x_n, \ forall x \ in X , Де f_k \ in X ^ * - Функції з сполученого простору.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Лінійний батальйон
Лінійний двигун
Лінійний прискорювач
Лінійний ізолятор
Лінійний код
Лінійний список
Лінійний пошук
Лінійний криптоаналіз
Лінійний функціонал
© Усі права захищені
написати до нас