Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Лінійний функціонал



Лінійний функціонал - функціонал, що володіє властивістю лінійності по своєму аргументу:

\ Phi [\ mathbf f + \ mathbf g] = \ Phi [\ mathbf f] + \ Phi [\ mathbf g]
\ Phi [c \ \ mathbf f] = c \ \ Phi [\ mathbf f]

де ~ \ Phi - Лінійний функціонал, \ Mathbf f і \ Mathbf g - Функції з його області визначення, ~ C - Число (константа).

Іншими словами, це лінійне відображення з (деякого) простору функцій у безліч чисел - найчастіше припускаються речовими, або, ще інакше, лінійний оператор, що діє з (деякого) простору функцій в \ Mathbb R (Іноді в \ Mathbb C ).

Лінійні функціонали відіграють особливу роль в функціональному аналізі.

  • Як і взагалі термін 'функціонал', термін лінійний функціонал 'вживається і взагалі для аргументів з векторних просторів - в сенсі лінійного відображення з якогось векторного простору в його простір скалярів, тобто - в цьому вживанні - його аргументом може бути не обов'язково функція.
  • Лінійний функціонал є аналогом оператора проектування для нескінченновимірних просторів (зокрема, для просторів функцій), а також застосовується як узагальнюючий термін, що покриває одно випадки скінченновимірних та нескінченновимірних просторів.
  • Одним з найважливіших прикладів лінійного функціоналу служить скалярний твір з фіксованою функцією (елементом простору):
\ Phi [\ mathbf f] = \ int_ \ Omega f (x) \ phi (x) d \ Omega

(Може бути також використано інтегрування з ваговою функцією).

  • Такі лінійний функціонали, що представляють скалярний твір \ Mathbf f з кожної з базисних функцій повного набору, дають пряме перетворення Фур'є.

Приклади

  • \ Phi [\ mathbf f] = \ int_ {\ Omega} L f (x) d \ Omega , Де L - Лінійний оператор, який діє на функцію f (x) , Ω - Область інтегрування,

зокрема:

  • \ Int_1 ^ 2 f (x) dx ,
  • \ Int_1 ^ 2 (5 \ frac {d ^ 2f} {dx ^ 2} + 2 \ frac {df} {dx} + 3f) dx ,
  • \ Int_1 ^ 2 \ int_3 ^ 4 f (x, y) dx dy ,
  • \ Int_1 ^ 2 K (x) f (x) dx , Де \ Mathbf K - Деяка фіксована функція,


  • \ Phi [\ mathbf f] = f (11)
  • \ Phi [\ mathbf f] = f (1) - f (0)
  • \ Phi [\ mathbf f] = \ frac {d ^ 3f} {dx ^ 3} | _ {x = 0}
  • \ Int_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x, 3) dx


(Легко переконатися, що для всіх цих прикладів властивість лінійності відображення дотримується).


Зауваження

  • \ Phi [\ mathbf f] = f (1) - f (0) = \ int_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (x-1) f (x) dx - \ int_ {- \ infty } ^ {+ \ infty} \ delta (x-0) f (x) dx = \ int_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} (\ delta (x-1) - \ delta (x)) f ( x) dx .

У звичайному абстрактному визначенні узагальненої функції вона і визначається просто як безперервний лінійний функціонал (у традиційному розумінні і записи функціонал породжується маються на увазі інтегруванням з узагальненою функцією).



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Функціонал
Функціонал Маньківського
Опуклий функціонал
Лінійний двигун
Лінійний прискорювач
Лінійний ізолятор
Лінійний код
Лінійний список
Лінійний пошук
© Усі права захищені
написати до нас