Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Математичне сподівання



План:


Введення

Математичне сподівання - середнє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини, розглядається в теорії ймовірностей. [1] В англомовній літературі і в математичному співтоваристві Санкт-Петербурга позначається через \ Mathbb {E} [X] (Наприклад, від англ. Expected value або ньому. Erwartungswert ), У російській - M [X] (Можливо, від англ. Mean value або ньому. Mittelwert , А можливо від рус. Математичне сподівання ). У статистиці часто використовують позначення μ .


1. Визначення

Нехай задано ймовірнісна простір (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P}) і визначена на ньому випадкова величина X . Тобто, за визначенням, X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} - вимірна функція. Якщо існує інтеграл Лебега від X по простору Ω , То він називається математичним очікуванням, або середнім (очікуваним) значенням і позначається M [X] або \ Mathbb {E} [X] .

M [X] = \ int \ limits_ {\ Omega} \! X (\ omega) \, \ mathbb {P} (d \ omega).

2. Основні формули для математичного сподівання

M [X] = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! X \, dF_X (x); x \ in \ mathbb R .

2.1. Математичне сподівання дискретного розподілу

\ Mathbb {P} (X = x_i) = p_i, \; \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ infty} p_i = 1 ,

то прямо з визначення інтеграла Лебега випливає, що

M [X] = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ infty} x_i \, p_i .

2.1.1. Математичне сподівання целочисленной величини

  • Якщо X - Позитивна целочисленная випадкова величина (окремий випадок дискретної), що має розподіл ймовірностей
\ Mathbb {P} (X = j) = p_j, \; j = 0,1 ,...; \ quad \ sum \ limits_ {j = 0} ^ {\ infty} p_j = 1

то її математичне очікування може бути виражене через виробляє функцію послідовності {P i}

P (s) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \; p_k s ^ k

як значення першої похідної в одиниці: M [X] = P '(1) . Якщо математичне сподівання X нескінченно, то \ Lim_ {s \ to 1} P '(s) = \ infty і ми будемо писати P '(1) = M [X] = \ infty

Тепер візьмемо виробляє функцію Q (s) послідовності "хвостів" розподілу {Q k}

q_k = \ mathbb {P} (X> j) = \ sum_ {j = k +1} ^ \ infty {p_j}; \ quad Q (s) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \; q_k s ^ k.

Ця виробляє функція пов'язана з певною раніше функцією P (s) властивість: Q (s) = \ frac {1-P (s)} {1-s} при | S | <1 . З цього по теоремі про середню випливає, що математичне очікування одно просто значенню цієї функції в одиниці:

M [X] = P '(1) = Q (1)

2.2. Математичне сподівання абсолютно неперервного розподілу

M [X] = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! x f_X (x) \, dx .

3. Математичне сподівання випадкового вектора

Нехай X = (X_1, \ dots, X_n) ^ {\ top} \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ n - Випадковий вектор. Тоді за визначенням

M [X] = (M [X_1], \ dots, M [X_n]) ^ {\ top} ,

тобто математичне очікування вектора визначається покомпонентно.

4. Математичне сподівання перетворення випадкової величини

Нехай g \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} - борелевская функція, така що випадкова величина Y = g (X) має кінцеве математичне очікування. Тоді для нього справедлива формула:

M \ left [g (X) \ right] = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ infty} g (x_i) p_i ,

якщо X має дискретне розподіл;

M \ left [g (X) \ right] = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! G (x) f_X (x) \, dx ,

якщо X має абсолютно безперервне розподіл.

Якщо розподіл \ Mathbb {P} ^ X випадкової величини X загального вигляду, то

M \ left [g (X) \ right] = \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! G (x) \, \ mathbb {P} ^ X (dx) .

У спеціальному випадку, коли g (X) = X k , Математичне сподівання M \ left [g (X) \ right] = M [X ^ k] називається k -Тим моментом випадкової величини.


5. Найпростіші властивості математичного сподівання

  • Математичне сподівання числа є саме число.
M [a] = a
a \ in \ mathbb {R} - Константа;
  • Математичне сподівання лінійно, тобто
M [a X + b Y] = a M [X] + b M [Y] ,
де X, Y - Випадкові величини з кінцевим математичним очікуванням, а a, b \ in \ mathbb {R} - Довільні константи;
  • Математичне сподівання зберігає нерівності, тобто якщо 0 \ leqslant X \ leqslant Yмайже напевно, і Y - Випадкова величина з кінцевим математичним очікуванням, то математичне сподівання випадкової величини X також звичайно, і більш того
0 \ leqslant M [X] \ leqslant M [Y] ;
  • Математичне сподівання не залежить від поведінки випадкової величини на подію ймовірності нуль, тобто якщо X = Y майже напевно, то
M [X] = M [Y] .
  • Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X, Y дорівнює добутку їх математичних сподівань
M [X Y] = M [X] M [Y] .

6. Додаткові властивості математичного сподівання


7. Приклади

M [X] = \ frac {1} {n} \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n x_i

дорівнює середньому арифметичному всіх прийнятих значень.

M [X] = \ int \ limits_ {a} ^ b \! \ Frac {x} {ba} \, dx = \ frac {a + b} {2} .
\ Int \ limits_ {- \ infty} ^ {\ infty} \! Xf_X (x) \, dx = \ infty ,

тобто математичне сподівання X не визначено.


Примітки

  1. " Математична енциклопедія "/ Головний редактор І. М. Виноградов - М. : "Радянська енциклопедія", 1979. - 1104 с. - (51 [03] М34). - 148800 прим .

Література

  • В. Феллер Глава XI. Цілочисельні величини. Виробляють функції / / Введення в теорію ймовірностей і її застосування = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Є. Б. Динкіна - 2-е вид. - М .: Світ, 1964. - С. 270-272.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Умовне математичне сподівання
Махапрана сподівання
Математичне просвітництво
Математичне доказ
Математичне просвітництво
Американське математичне товариство
Московське математичне товариство
Лондонське математичне товариство
Європейське математичне товариство
© Усі права захищені
написати до нас