Матриця Якобі

План:

1 Визначення
2 Пов'язані визначення
3 Властивості

Введення

Не слід плутати з Трехдіагональная матриця.

Матриця Якобі відображення $\ Mathbf {u} \ colon \ R ^ n \ to \ R ^ m$ в точці $x \ in \ R ^ n$ описує головну лінійну частину довільного відображення $\ Mathbf {u}$ в точці .

1. Визначення

Нехай задано відображення $\ Mathbf {u}: \ R ^ n \ to \ R ^ m, \ mathbf {u} = (u_1, \ ldots, u_m), u_i = u_i (x_1, \ ldots, x_n), i = 1, \ ldots , m,$ має в деякій точці всі приватні похідні першого порядку. Матриця , Складена з приватних похідних цих функцій в точці , Називається матрицею Якобі даної системи функцій.

$J (x) = \ begin {pmatrix} {\ partial u_1 \ over \ partial x_1} (x) & {\ partial u_1 \ over \ partial x_2} (x) & \ cdots & {\ partial u_1 \ over \ partial x_n } (x) \ \ {\ partial u_2 \ over \ partial x_1} (x) & {\ partial u_2 \ over \ partial x_2} (x) & \ cdots & {\ partial u_2 \ over \ partial x_n} (x) \ \ \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \ \ {\ partial u_m \ over \ partial x_1} (x) & {\ partial u_m \ over \ partial x_2} (x) & \ cdots & {\ partial u_m \ over \ partial x_n} (x) \ end {pmatrix}$

2. Пов'язані визначення

Якщо , То визначник матриці Якобі називається визначником Якобі (якобіаном) системи функцій $u_1, \ ldots, u_n$ .
Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг :
$\ Mathrm {rank} \, J = \ min (m, n)$

3. Властивості

Якщо всі безперервно діфференцируєми в околиці $\ Mathbf {x} _0$ , То
$\ Mathbf {u} (x) = \ mathbf {u} (x_0) + J (x_0) (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _0) + o (| \ mathbf {x} - \ mathbf {x } _0 |)$
Нехай $\ Varphi \ colon \ Bbb {R} ^ n \ to \ Bbb {R} ^ m, ~ \ psi \ colon \ Bbb {R} ^ m \ to \ Bbb {R} ^ k$ - Диференційовні відображення, $J_ \ varphi, J_ \ psi$ - Їх матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їх матриць Якобі (властивість функторіальності):
$J_ {\ psi \ circ \ varphi} (x) = J_ \ psi (\ varphi (x)) J_ \ varphi (x)$