Матриця (математика)

План:

1 Історія
2 Визначення
3 Позначення
4 Пов'язані поняття
5 Властивості
- 5.1 Матричні операції
6 Приклади
7 Матриця як запис коефіцієнтів системи лінійних рівнянь
8 Квадратна матриця і суміжні визначення
9 Елементарні перетворення матриць
10 Матриця лінійного оператора
11 Матриці в теорії груп

Введення

Матриця - математичний об'єкт, записується у вигляді прямокутної таблиці елементів кільця або поля (наприклад, цілих або комплексних чисел), яка представляє собою сукупність рядків і стовпців, на перетині яких знаходяться її елементи. Кількість рядків і стовпців матриці задають розмір матриці. Хоча історично розглядалися, наприклад, трикутні матриці, в даний час говорять виключно про матрицях прямокутної форми, так як вони є найбільш зручними і загальними.

Матриці широко застосовуються в математиці для компактної запису систем лінійних алгебраїчних або диференціальних рівнянь. У цьому випадку, кількість рядків матриці відповідає числу рівнянь, а кількість шпальт - кількістю невідомих. В результаті рішення систем лінійних рівнянь зводиться до операцій над матрицями.

Матриці допускають наступні алгебраїчні операції:

складання матриць, які мають один і той же розмір;
множення матриць відповідного розміру (матрицю, що має n стовпців, можна помножити справа на матрицю, що має n рядків);
множення матриці на елемент основного кільця або поля (т. зв. скаляр).

Щодо складання матриці утворюють абелева групу, якщо ж розглядати ще і множення на скаляр, то матриці утворюють модуль над відповідним кільцем ( векторний простір над полем). Безліч квадратних матриць замкнуто щодо матричного множення, тому квадратні матриці одного розміру утворюють асоціативне кільце з одиницею щодо матричного складання і матричного множення.

Матриця є матрицею деякого лінійного оператора : властивості матриці відповідають властивостям лінійного оператора. Зокрема, власні числа матриці - це власні числа оператора, що відповідають відповідним власним векторах.

У математиці розглядається безліч різних типів і видів матриць. Такі, наприклад, одинична, симетрична, кососімметрічная, верхнетреугольная (ніжнетреугольная) і т. п. матриці.

Особливе значення в теорії матриць займають всілякі нормальні форми, тобто канонічний вид, до якого можна привести матрицю заміною координат. Найбільш важливою (в теоретичному значенні) і пропрацювала є теорія Жорданових нормальних форм. На практиці, однак, використовуються такі нормальні форми, які володіють додатковими властивостями, наприклад, стійкістю.

1. Історія

Вперше матриці згадувалися ще в стародавньому Китаї, називаючись тоді " чарівним квадратом ". Основним застосуванням матриць було рішення лінійних рівнянь. Так само, чарівні квадрати були відомі трохи пізніше у арабських математиків, приблизно тоді з'явився принцип складання матриць. Після розвитку теорії визначників в кінці 17-го століття, Габріель Крамер почав розробляти свою теорію в 18-му столітті і опублікував "правило Крамера" в 1751 році. Приблизно в цьому ж проміжку часу з'явився " метод Гауса ". Теорія матриць почала своє існування в середині XIX століття в роботах Вільяма Гамільтона і Артура Келі. Фундаментальні результати в теорії матриць належать Вейерштрасу, Жорданія, Фробеніуса. Термін "матриця" ввів Джеймс Сильвестр в 1850 р. ^[1]

2. Визначення

Нехай $M = \ {1,2, \ dots, m \}$ і $N = \ {1,2, \ dots, n \}$ , Де $m, n \ in \ mathbb {N}$ , - Два кінцевих безлічі.

Назвемо матрицею розміру $m \ times n$ (Читається m на n ) З елементами з деякого кільця або поля $\ Mathcal {K}$ відображення виду

$A \ colon M \ times N \ to \ mathcal {K}$ .

Якщо індекс i пробігає безліч M , А j пробігає безліч N , То елемент A (i, j) виявляється елементом матриці, що знаходиться на перетині i -Того рядка і j -Ого стовпця:

i -Й рядок матриці складається з елементів виду A (i, j) , Де j пробігає вся безліч N ;
j -Ий стовпець матриці складається з елементів виду A (i, j) , Де i пробігає вся безліч M .

Таким чином, матриця розміру $m \ times n$ полягає в точності з

m рядків (по n елементів у кожному)
і n стовпців (по m елементів у кожному).

Відповідно до цього

кожен рядок матриці можна інтерпретувати як вектор в n -Мірному координатному просторі $\ Mathcal {K} ^ {n}$ ;
кожен стовпець матриці - як вектор в m -Мірному координатному просторі $\ Mathcal {K} ^ {m}$ .

Сама матриця природним чином інтерпретується як вектор в просторі $\ Mathcal {K} ^ {mn}$ мають розмірність m n . Це дозволяє ввести покомпонентное складання матриць і множення матриці на число (див. нижче); то що стосується матричного множення, то воно істотно спирається на прямокутну структуру матриці.

Якщо у матриці кількість рядків m збігається з кількістю стовпців n , То така матриця називається квадратною, а число m = n називається розміром квадратної матриці або її порядком.

3. Позначення

Зазвичай матрицю позначають великою літерою латинського алфавіту: нехай

$A \ colon M \ times N \ to \ mathcal {K}$ ,

тоді A - Матриця, яка інтерпретується як прямокутний масив елементів поля $\ Mathcal {K}$ виду a _{i j} = A (i, j) , Де

перший індекс означає індекс рядки: $i = \ overline {1, m}$ ;
другий індекс означає індекс стовпці: $j = \ overline {1, n}$ ;

таким чином, a _{i j} - Елемент матриці A , Що знаходиться на перетині i -Того рядка і j -Того стовпця. Відповідно до цього прийнято наступне компактне позначення для матриці розміру $m \ times n$ :

$A = (a_ {ij}) _ {i = 1, j = 1} ^ {m, n}$

або просто:

A = (a _{i j),}

якщо потрібно просто вказати позначення для елементів матриці.

Іноді, замість a _{i j} , Пишуть a _{i, j} , Щоб відокремити індекси один від одного і уникнути змішання з твором двох чисел.

Якщо необхідно дати розгорнуте уявлення матриці у вигляді таблиці, то використовують запис виду

$\ Begin {pmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1j} & \ cdots & a_ {1n} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {i1} & \ cdots & a_ {ij} & \ cdots & a_ {in} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mj} & \ cdots & a_ {mn } \ end {pmatrix}, \ quad \ left [\ begin {array} {ccccc} a_ {11} & \ cdots & a_ {1j} & \ cdots & a_ {1n} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {i1} & \ cdots & a_ {ij} & \ cdots & a_ {in} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mj} & \ cdots & a_ {mn} \ end {array} \ right], \ quad \ left \ | \ begin {array} {ccccc} a_ {11} & \ cdots & a_ {1j } & \ cdots & a_ {1n} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {i1} & \ cdots & a_ {ij} & \ cdots & a_ {in} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mj} & \ cdots & a_ {mn} \ end {array} \ right \ |$

Можна зустріти як позначення з круглими дужками "(...)", так і позначення з квадратними дужками "[...]". Рідше можна зустріти позначення з подвійними прямими лініями "| | ... ||").

Оскільки матриця складається з рядків і стовпців, для них використовуються такі позначення:

$a_ {i \ cdot} = A_i = [\ begin {array} {ccccc} a_ {i1} & \ cdots & a_ {ij} & \ cdots & a_ {in} \ \ \ end {array}]$ - Це i -Та рядок матриці A ,

$a_ {\ cdot j} = A ^ j = \ left [\ begin {array} {c} a_ {1j} \ \ \ vdots \ \ a_ {ij} \ \ \ vdots \ \ a_ {mj} \ \ \ end {array} \ right]$ - Це j -Тий стовпець матриці A .

Таким чином, матриця має властивим виставою - по стовпцях:

$A = [\ begin {array} {ccccc} A ^ {1} & \ cdots & A ^ {j} & \ cdots & A ^ {n} \ \ \ end {array}]$

і по рядках:

$A = \ left [\ begin {array} {c} A_ {1} \ \ \ vdots \ \ A_ {i} \ \ \ vdots \ \ A_ {m} \ \ \ end {array} \ right]$ .

Таке подання дозволяє формулювати властивості матриць в термінах рядків або в термінах стовпців.

3.1. Транспонована матриця

З кожною матрицею A = (a _{i j)} розміру $m \ times n$ пов'язана матриця B = (b _{i j)} розміру $n \ times m$ виду

$b_ {ij} = a_ {ji}, \ quad i = \ overline {1, m}, \ quad j = \ overline {1, n}.$

Така матриця називається транспонованої матрицею для A і позначається так A ^T . Транспоновану матрицю можна отримати, помінявши рядки та стовпці матриці місцями. Матриця A = (a _{i j)} розміру $m \ times n$ при цьому перетворенні стане матрицею розмірністю $n \ times m$ .

3.2. Вектор-рядок та вектор-стовпець

Матриці розміру $m \ times 1$ і $1 \ times n$ є елементами просторів $\ Mathcal {K} ^ {m}$ і $\ Mathcal {K} ^ {n}$ відповідно:

матриця розміру $m \ times 1$ називається вектор-стовпцем і має спеціальне позначення:

$\ Mathrm {colon} \, (a_1, \ dots, a_i, \ dots, a_m) = (a_1, \ dots, a_i, \ dots, a_m) ^ {T};$

матриця розміру $1 \ times n$ називається вектор-рядком і має спеціальне позначення:

$\ Mathrm {row} \, (a_1, \ dots, a_i, \ dots, a_n) = (a_1, \ dots, a_i, \ dots, a_n);$

3.3. Операції над матрицями

Множення матриці на число

Множення матриці A на число λ (Позначення: λ A ) Полягає в побудові матриці B , Елементи якої отримані шляхом множення кожного елемента матриці A на це число, тобто кожен елемент матриці B дорівнює

$\ B_ {ij} = \ lambda a_ {ij}$

Властивості множення матриць на число

1. 1 * A = A;

2. (Λβ) A = Λ (βA)

3. (Λ + β) A = ΛA + βA

4. Λ (A + B) = ΛA + ΛB

Додавання матриць

Додавання матриць A + B Тобто операція знаходження матриці C , Всі елементи якої рівні попарной сумі всіх відповідних елементів матриць A і B , Тобто кожен елемент матриці C дорівнює

$\ C_ {ij} = a_ {ij} + b_ {ij}$

Властивості додавання матриць

5. комутативність;

6. асоціативність;

7.сложеніе з нульовою матрицею;

8.существованіе протилежної матриці;

Всі властивості лінійних операцій, повторюють аксіоми лінійного простору і тому справедлива теорема:

Безліч всіх матриць однакових розмірів MxN утворюють лінійний простір над полем P (полем всіх дійсних або комплексних чисел), тому кожна матриця є вектором і цього простору.

Множення матриць

Множення матриць (позначення: A B , Рідше зі знаком множення $A \ times B$ ) - Є операція обчислення матриці C , Елементи якої дорівнюють сумі добутків елементів у відповідному рядку першого множника і стовпці другого.

$\! c_ {ij} = \ sum ^ n_ {k = 1} a_ {ik} b_ {kj}$

Кількість стовпців в матриці A має збігатися з кількістю рядків у матриці B . Якщо матриця A має розмірність $m \ times n$ , B - $n \ times k$ , То розмірність їхні твори A B = C є $m \ times k$ .

Властивості множення матриць

1. асоціативність;

2.проізведеніе НЕ коммутативно;

3.проізведеніе коммутативно в разі множення з одиничною матрицею;

4.справедлівость дистрибутивного закону;

5. (ΛA) B = Λ (AB) = A (ΛB);

Комплексне сполучення

Якщо елементами матриці A = (a _{i j)} є комплексні числа, то комплексно сполучена (не плутати з ермітових сполученої ! див. далі) матриця дорівнює $\ Bar A = (\ bar a_ {i, j})$ . Тут $\ Bar a$ - Число, комплексно поєднане до a .

Транспонування і ермітових сполучення

Транспонування вже обговорювалося вище: якщо A = (a _{i j)} , То A ^T = (a _{j i)} . Для комплексних матриць більш уживано ермітових сполучення: $A ^ * = \ bar A ^ T$ . З точки зору операторного погляду на матриці, транспонована і ермітових сполучена матриця - це матриці оператора, сполученого щодо скалярного або ермітових твори, відповідно.

Взяття визначника або перманенту

4. Пов'язані поняття

4.1. Лінійні комбінації

В векторному просторі лінійної комбінацією векторів $\ Mathbf {x} _1, \ dots, \ mathbf {x} _n$ називається вектор

$\ Mathbf {x} = a_1 \ mathbf {x} _1 + \ dots + a_n \ mathbf {x} _n,$

де $a_1, \ dots, a_n$ - Коефіцієнти розкладання:

коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то така комбінація називається тривіальною,
якщо ж хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля, то така комбінація називається нетривіальною.

Це дозволяє описати твір C = A B матриць A і B термінах лінійних комбінацій:

стовпці матриці C - Це лінійні комбінації стовпців матриці A з коефіцієнтами, взятими з матриці B ;
рядки матриці C - Це лінійні комбінації рядків матриці B з коефіцієнтами, взятими з матриці A .

4.2. Лінійна залежність

Якщо який-небудь вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації, то говорять про лінійну залежність даного вектора від елементів комбінації.

Точніше, говорять так: деяка сукупність елементів векторного простору називається лінійно залежною, якщо існує рівна нулю лінійна комбінація елементів даної сукупності або

$\ Mathbf {0} = a_1 \ mathbf {x_1} + \ dots + a_n \ mathbf {x_n},$

де не всі числа $a_1, \ dots, a_n$ дорівнюють нулю, якщо такий нетривіальною комбінації не існує, то дана сукупність векторів називається лінійно незалежною.

Лінійна залежність векторів означає, що якийсь вектор заданої сукупності лінійно виражається через інші вектори.

Кожна матриця являє собою сукупність векторів (одного і того ж простору). Дві такі матриці - дві сукупності. Якщо кожен вектор однієї сукупності лінійно виражається через вектори іншої сукупності, то на мові теорії матриць цей факт описується за допомогою твори матриць:

якщо рядки матриці C лінійно залежать від рядків матриці B , То C = A B для деякої матриці A ;
якщо стовпці матриці C лінійно залежать від стовпців іншої матриці A , То C = A B для деякої матриці B .

4.3. Ранг матриці

Кількість лінійно незалежних рядків матриці називають рядковим рангом матриці, а кількість лінійно незалежних стовпців матриці називають столбцовим рангом матриці. Насправді, обидва рангу збігаються. Їх загальне значення і називається рангом матриці.

Інший еквівалентний даному підхід полягає у визначенні рангу матриці, як максимального порядку відмінного від нуля мінору матриці.

5. Властивості

5.1. Матричні операції

Додавання і віднімання допускається тільки для матриць однакового розміру.

Існує нульова матриця Θ така, що її прибуток до іншої матриці A не змінює A, тобто

A + Θ = A

Всі елементи нульової матриці дорівнюють нулю.

Зводити до степеня можна тільки квадратні матриці.

Асоціативність додавання: A + (B + C) = (A + B) + C.
Комутативність складання: A + B = B + A.
Асоціативність множення: A (B C) = (A B) C.
Взагалі кажучи, множення матриць некомутативних: $AB \ ne BA$ . Використовуючи цю властивість, вводять комутатор матриць.
Дистрибутивність множення відносно додавання:
A (B + C) = A B + A C;
(B + C) A = B A + C A.
З урахуванням згаданих вище властивостей, матриці утворюють кільце щодо операцій додавання і множення.
Властивості операції транспонування матриць:
(A ^{T) T} = A
(A B) ^T = B ^T A ^T
(A ^{- 1) T} = (A ^{T) - 1} , Якщо зворотна матриця A ^{- 1} існує.
(A + B) ^T = A ^T + B ^T
d e t A = d e t A ^T

6. Приклади

7. Матриця як запис коефіцієнтів системи лінійних рівнянь

Систему з m рівнянь з n невідомими

$\ Begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ ldots + a_ {1n} x_n = b_1 \ \ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ ldots + a_ {2n} x_n = b_2 \ \ \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ \ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ ldots + a_ {mn} x_n = b_m \ end {cases}$

можна представити в матричному вигляді

$A = \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \ \ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \ end {pmatrix}; \ quad X = \ begin {pmatrix} x_ {1} \ \ x_ {2} \ \ \ vdots \ \ x_ {n} \ end {pmatrix}; \ quad B = \ begin {pmatrix} b_ {1} \ \ b_ {2} \ \ \ vdots \ \ b_ {m} \ end {pmatrix}$

і тоді всю систему можна записати так:

A X = B ,

де A має сенс таблиці коефіцієнтів a _{i j} системи рівнянь.

Якщо m = n і матриця A невироджених, то рішення цього рівняння полягає в знаходженні оберненої матриці A ^{- 1} , Оскільки помноживши обидві частини рівняння на цю матрицю зліва

A ^{- 1} A X = A ^{- 1} B

A ^{- 1} A - Перетворюється в E (Одиничну матрицю). І це дає можливість отримати стовпець коренів рівнянь

X = A ^{- 1} B .

Всі правила, за якими проводяться операції над матрицями, виводяться з операцій над системами рівнянь.

8. Квадратна матриця і суміжні визначення

Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості стовпців, то така матриця називається квадратною.

Для квадратних матриць існує одинична матриця E (Аналог одиниці для операції множення чисел) така, що множення будь матриці на неї не впливає на результат, а саме

E A = A E = A

У одиничної матриці одиниці коштують лише по головній діагоналі, інші елементи рівні нулю

$E = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ cdots & 0 \ \ 0 & 1 & \ cdots & 0 \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & \ cdots & 1 \ end {pmatrix}$

Для деяких квадратних матриць можна знайти так звану зворотну матрицю. Зворотній матриця A ^{- 1} така, що якщо помножити матрицю на неї, то вийде одинична матриця:

A A ^{- 1} = E

Зворотній матриця існує не завжди. Матриці, для яких зворотна існує, називаються невиродженими (або регулярними), а для яких немає - виродженими (або сингулярними). Матриця невирождена, якщо всі її рядки (стовпчики) лінійно незалежні як вектори. Максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців) називається рангом матриці. Визначником (детермінантом) матриці називається значення нормованої кососімметріческой (антісімметріческой) полілінейной форми валентності $(P; \; 0)$ на шпальтах матриці. Квадратна матриця над числовим полем вироджена тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

9. Елементарні перетворення матриць

Елементарними перетвореннями рядків матриці називаються такі перетворення:

Множення рядка на число відмінне від нуля,
Додаток одного рядка, помноженої на число, до іншої рядку,
Перестановка місцями двох рядків.

Елементарні перетворення стовпців матриці визначаються аналогічно. При елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється.

10. Матриця лінійного оператора

Матриця лінійного оператора - матриця, що виражає лінійний оператор в деякому базисі. Для того, щоб її отримати, необхідно подіяти оператором на вектори базису та координати отриманих векторів (образів базисних векторів) записати в стовпці матриці.

Матриця оператора аналогічна координатами вектора. При цьому дія оператора на вектор рівносильне множенню матриці на стовпець координат цього вектора в тому ж базисі.

Виберемо базис $\ Mathbf {e} _k$ . Нехай $\ Mathbf {x}$ - Довільний вектор. Тоді його можна розкласти по цьому базису:

$\ Mathbf {x} = x ^ k \ mathbf {e} _k$ ,

де x ^k - Координати вектора $\ Mathbf {x}$ в обраному базисі.

Тут і далі передбачається підсумовування по німим індексами.

Нехай $\ Mathbf {A}$ - Довільний лінійний оператор. Подействуем їм на обидві сторони попереднього рівності, одержимо

$\ Mathbf {Ax} = x ^ k \ mathbf {Ae} _k$ .

Вектора $\ Mathbf {Ae} _k$ також розкладемо в обраному базисі, отримаємо

$\ Mathbf {Ae} _k = a ^ j_k \ mathbf {e} _j$ ,

де a ^ j_k - j -Я координата k -Го вектора з $\ Mathbf {Ae} _k$ .

Підставимо розкладання в попередню формулу, отримаємо

$\ Mathbf {Ax} = x ^ ka ^ j_k \ mathbf {e} _j = (a ^ j_kx ^ k) \ mathbf {e} _j$ .

Вираз a ^ j_kx ^ k , Укладена в дужки, є ні що інше, як формула множення матриці на стовпець, і, таким чином, матриця a ^ j_k при множенні на стовпець x ^k дає в результаті координати вектора $\ Mathbf {Ax}$ , Який виник від дії оператора $\ Mathbf {A}$ на вектор $\ Mathbf {x}$ , Що потрібно було отримати.

Коментар: Якщо в отриманій матриці поміняти місцями пару колонок або рядків, то ми, взагалі кажучи, отримаємо вже іншу матрицю, що відповідає тому ж набору базисних елементів $\ Mathbf {e} _k$ . Іншими словами, порядок базисних елементів передбачається жорстко впорядкованим.

11. Матриці в теорії груп

Матриці грають важливу роль в теорії груп. Вони використовуються при побудові загальних лінійних груп, спеціальних лінійних груп, діагональних груп, трикутних груп, унітреугольних груп.

Примітки

Даан-Дальмедіко А., Пейффер Ж. Шляхи та лабіринти. Нариси з історії математики: Пер. з франц. - М .: Світ, 1986. - С. 397.

Література

Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М .: Світ, 1999.
Беллман Р. Введення в теорію матриць - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Bellman1969ru.djvu. - М .: Світ, 1969 (djvu).
Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць (2-е видання) - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Gantmaxer_matric_1966ru.djvu. - М .: Наука, 1966 (djvu).
Ланкастер П. Теорія матриць - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Lankaster1973ru.djvu. - М .: Наука, 1973 (djvu).
Соколов Н. П. Просторові матриці та їх застосування - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sokolov1960ru.djvu. - М .: ГІФМЛ, 1960 (djvu).
Халмош П. Скінченновимірні векторні простори = Finite-dimensional vector spaces - М .: Фізматгіз, 1963. - 264 с.

Матриці
Простий структури	Нульова Одинична Діагональна
Трикутні	Трикутна Ніжнетреугольная Верхнетреугольная Унітреугольная
За алгебраїчним властивостям
Симетричність:	Симетрична Кососімметріческая
Перестановочного:	Комутуючі матриці Антіперестановочная
Оборотність:	Вироджена Невироджених