Знаймо![]() приховати рекламу
| Цей текст може містити помилки. Матриця (математика)План:
Література ВведенняМатриця - математичний об'єкт, записується у вигляді прямокутної таблиці елементів кільця або поля (наприклад, цілих або комплексних чисел), яка представляє собою сукупність рядків і стовпців, на перетині яких знаходяться її елементи. Кількість рядків і стовпців матриці задають розмір матриці. Хоча історично розглядалися, наприклад, трикутні матриці, в даний час говорять виключно про матрицях прямокутної форми, так як вони є найбільш зручними і загальними. Матриці широко застосовуються в математиці для компактної запису систем лінійних алгебраїчних або диференціальних рівнянь. У цьому випадку, кількість рядків матриці відповідає числу рівнянь, а кількість шпальт - кількістю невідомих. В результаті рішення систем лінійних рівнянь зводиться до операцій над матрицями. Матриці допускають наступні алгебраїчні операції:
Щодо складання матриці утворюють абелева групу, якщо ж розглядати ще і множення на скаляр, то матриці утворюють модуль над відповідним кільцем ( векторний простір над полем). Безліч квадратних матриць замкнуто щодо матричного множення, тому квадратні матриці одного розміру утворюють асоціативне кільце з одиницею щодо матричного складання і матричного множення. Матриця є матрицею деякого лінійного оператора : властивості матриці відповідають властивостям лінійного оператора. Зокрема, власні числа матриці - це власні числа оператора, що відповідають відповідним власним векторах. У математиці розглядається безліч різних типів і видів матриць. Такі, наприклад, одинична, симетрична, кососімметрічная, верхнетреугольная (ніжнетреугольная) і т. п. матриці. Особливе значення в теорії матриць займають всілякі нормальні форми, тобто канонічний вид, до якого можна привести матрицю заміною координат. Найбільш важливою (в теоретичному значенні) і пропрацювала є теорія Жорданових нормальних форм. На практиці, однак, використовуються такі нормальні форми, які володіють додатковими властивостями, наприклад, стійкістю. 1. ІсторіяВперше матриці згадувалися ще в стародавньому Китаї, називаючись тоді " чарівним квадратом ". Основним застосуванням матриць було рішення лінійних рівнянь. Так само, чарівні квадрати були відомі трохи пізніше у арабських математиків, приблизно тоді з'явився принцип складання матриць. Після розвитку теорії визначників в кінці 17-го століття, Габріель Крамер почав розробляти свою теорію в 18-му столітті і опублікував "правило Крамера" в 1751 році. Приблизно в цьому ж проміжку часу з'явився " метод Гауса ". Теорія матриць почала своє існування в середині XIX століття в роботах Вільяма Гамільтона і Артура Келі. Фундаментальні результати в теорії матриць належать Вейерштрасу, Жорданія, Фробеніуса. Термін "матриця" ввів Джеймс Сильвестр в 1850 р. [1] 2. Визначення Нехай Назвемо матрицею розміру
Якщо індекс i пробігає безліч M , А j пробігає безліч N , То елемент A (i, j) виявляється елементом матриці, що знаходиться на перетині i -Того рядка і j -Ого стовпця:
Таким чином, матриця розміру
Відповідно до цього
Сама матриця природним чином інтерпретується як вектор в просторі Якщо у матриці кількість рядків m збігається з кількістю стовпців n , То така матриця називається квадратною, а число m = n називається розміром квадратної матриці або її порядком. 3. ПозначенняЗазвичай матрицю позначають великою літерою латинського алфавіту: нехай
тоді A - Матриця, яка інтерпретується як прямокутний масив елементів поля
таким чином, a i j - Елемент матриці A , Що знаходиться на перетині i -Того рядка і j -Того стовпця. Відповідно до цього прийнято наступне компактне позначення для матриці розміру або просто:
якщо потрібно просто вказати позначення для елементів матриці. Іноді, замість a i j , Пишуть a i, j , Щоб відокремити індекси один від одного і уникнути змішання з твором двох чисел. Якщо необхідно дати розгорнуте уявлення матриці у вигляді таблиці, то використовують запис виду Можна зустріти як позначення з круглими дужками "(...)", так і позначення з квадратними дужками "[...]". Рідше можна зустріти позначення з подвійними прямими лініями "| | ... ||"). Оскільки матриця складається з рядків і стовпців, для них використовуються такі позначення:
а
Таким чином, матриця має властивим виставою - по стовпцях: і по рядках:
Таке подання дозволяє формулювати властивості матриць в термінах рядків або в термінах стовпців. 3.1. Транспонована матриця З кожною матрицею A = (a i j) розміру Така матриця називається транспонованої матрицею для A і позначається так A T . Транспоновану матрицю можна отримати, помінявши рядки та стовпці матриці місцями. Матриця A = (a i j) розміру 3.2. Вектор-рядок та вектор-стовпець Матриці розміру
3.3. Операції над матрицями
Множення матриці A на число λ (Позначення: λ A ) Полягає в побудові матриці B , Елементи якої отримані шляхом множення кожного елемента матриці A на це число, тобто кожен елемент матриці B дорівнює Властивості множення матриць на число 1. 1 * A = A; 2. (Λβ) A = Λ (βA) 3. (Λ + β) A = ΛA + βA 4. Λ (A + B) = ΛA + ΛB
Додавання матриць A + B Тобто операція знаходження матриці C , Всі елементи якої рівні попарной сумі всіх відповідних елементів матриць A і B , Тобто кожен елемент матриці C дорівнює Властивості додавання матриць 5. комутативність; 6. асоціативність; 7.сложеніе з нульовою матрицею; 8.существованіе протилежної матриці; Всі властивості лінійних операцій, повторюють аксіоми лінійного простору і тому справедлива теорема: Безліч всіх матриць однакових розмірів MxN утворюють лінійний простір над полем P (полем всіх дійсних або комплексних чисел), тому кожна матриця є вектором і цього простору.
Множення матриць (позначення: A B , Рідше зі знаком множення Кількість стовпців в матриці A має збігатися з кількістю рядків у матриці B . Якщо матриця A має розмірність Властивості множення матриць 1. асоціативність; 2.проізведеніе НЕ коммутативно; 3.проізведеніе коммутативно в разі множення з одиничною матрицею; 4.справедлівость дистрибутивного закону; 5. (ΛA) B = Λ (AB) = A (ΛB);
Якщо елементами матриці A = (a i j) є комплексні числа, то комплексно сполучена (не плутати з ермітових сполученої ! див. далі) матриця дорівнює
Транспонування вже обговорювалося вище: якщо A = (a i j) , То A T = (a j i) . Для комплексних матриць більш уживано ермітових сполучення:
4. Пов'язані поняття4.1. Лінійні комбінації В векторному просторі лінійної комбінацією векторів де
Це дозволяє описати твір C = A B матриць A і B термінах лінійних комбінацій:
4.2. Лінійна залежністьЯкщо який-небудь вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації, то говорять про лінійну залежність даного вектора від елементів комбінації. Точніше, говорять так: деяка сукупність елементів векторного простору називається лінійно залежною, якщо існує рівна нулю лінійна комбінація елементів даної сукупності або де не всі числа Лінійна залежність векторів означає, що якийсь вектор заданої сукупності лінійно виражається через інші вектори. Кожна матриця являє собою сукупність векторів (одного і того ж простору). Дві такі матриці - дві сукупності. Якщо кожен вектор однієї сукупності лінійно виражається через вектори іншої сукупності, то на мові теорії матриць цей факт описується за допомогою твори матриць:
4.3. Ранг матриціКількість лінійно незалежних рядків матриці називають рядковим рангом матриці, а кількість лінійно незалежних стовпців матриці називають столбцовим рангом матриці. Насправді, обидва рангу збігаються. Їх загальне значення і називається рангом матриці. Інший еквівалентний даному підхід полягає у визначенні рангу матриці, як максимального порядку відмінного від нуля мінору матриці. 5. Властивості5.1. Матричні операціїДодавання і віднімання допускається тільки для матриць однакового розміру. Існує нульова матриця Θ така, що її прибуток до іншої матриці A не змінює A, тобто
Всі елементи нульової матриці дорівнюють нулю. Зводити до степеня можна тільки квадратні матриці.
6. Приклади7. Матриця як запис коефіцієнтів системи лінійних рівняньСистему з m рівнянь з n невідомими можна представити в матричному вигляді і тоді всю систему можна записати так:
де A має сенс таблиці коефіцієнтів a i j системи рівнянь. Якщо m = n і матриця A невироджених, то рішення цього рівняння полягає в знаходженні оберненої матриці A - 1 , Оскільки помноживши обидві частини рівняння на цю матрицю зліва
A - 1 A - Перетворюється в E (Одиничну матрицю). І це дає можливість отримати стовпець коренів рівнянь
Всі правила, за якими проводяться операції над матрицями, виводяться з операцій над системами рівнянь. 8. Квадратна матриця і суміжні визначенняЯкщо кількість рядків матриці дорівнює кількості стовпців, то така матриця називається квадратною. Для квадратних матриць існує одинична матриця E (Аналог одиниці для операції множення чисел) така, що множення будь матриці на неї не впливає на результат, а саме
У одиничної матриці одиниці коштують лише по головній діагоналі, інші елементи рівні нулю Для деяких квадратних матриць можна знайти так звану зворотну матрицю. Зворотній матриця A - 1 така, що якщо помножити матрицю на неї, то вийде одинична матриця:
Зворотній матриця існує не завжди. Матриці, для яких зворотна існує, називаються невиродженими (або регулярними), а для яких немає - виродженими (або сингулярними). Матриця невирождена, якщо всі її рядки (стовпчики) лінійно незалежні як вектори. Максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців) називається рангом матриці. Визначником (детермінантом) матриці називається значення нормованої кососімметріческой (антісімметріческой) полілінейной форми валентності 9. Елементарні перетворення матрицьЕлементарними перетвореннями рядків матриці називаються такі перетворення:
Елементарні перетворення стовпців матриці визначаються аналогічно. При елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється. 10. Матриця лінійного оператораМатриця лінійного оператора - матриця, що виражає лінійний оператор в деякому базисі. Для того, щоб її отримати, необхідно подіяти оператором на вектори базису та координати отриманих векторів (образів базисних векторів) записати в стовпці матриці. Матриця оператора аналогічна координатами вектора. При цьому дія оператора на вектор рівносильне множенню матриці на стовпець координат цього вектора в тому ж базисі. Виберемо базис
де x k - Координати вектора Тут і далі передбачається підсумовування по німим індексами. Нехай
Вектора
де Підставимо розкладання в попередню формулу, отримаємо
Вираз
11. Матриці в теорії групМатриці грають важливу роль в теорії груп. Вони використовуються при побудові загальних лінійних груп, спеціальних лінійних груп, діагональних груп, трикутних груп, унітреугольних груп. Примітки
Література
Цей текст може містити помилки. Схожі роботи | скачати Схожі роботи: Матриця Z-матриця Унітарна матриця Жорданова матриця Матриця (фільм) Стохастична матриця ПЗС-матриця Матриця (фото) Симетрична матриця |