Многочлен

План:

1 Вивчення і застосування
2 Пов'язані визначення
3 Подільність
4 Поліноміальні функції
5 Властивості
6 Варіації і узагальнення

Введення

Многочлен (або поліном) від n змінних - це кінцева формальна сума виду

$\ Sum_I c_I x_1 ^ {i_1} x_2 ^ {i_2} \ cdots x_n ^ {i_n}$ ,

де $I = (i_1, i_2, \ dots, i_n)$ є набір з цілих невід'ємних чисел (називається мультііндекс), c _I - Число (зване "коефіцієнт многочлена"), що залежить тільки від мультііндекса I.

Зокрема, многочлен від однієї змінної є кінцева формальна сума виду

$c_0 + c_1x ^ 1 + \ dots + c_nx ^ n.$

де c _i фіксовані коефіцієнти, а x - Змінна.

Многочлени складають один з найважливіших класів елементарних функцій.

1. Вивчення і застосування

Вивчення поліноміальних рівнянь і їх рішень становило чи не головний об'єкт "класичної алгебри". З вивченням многочленів пов'язаний цілий ряд перетворень в математиці: введення в розгляд нуля, негативних, а потім і комплексних чисел, а також поява теорії груп як розділу математики і виділення класів спеціальних функцій в аналізі.

Технічна простота обчислень, пов'язаних з многочленами, у порівнянні з більш складними класами функцій, а також той факт, що безліч многочленів щільно в просторі безперервних функцій на компактних подмножествах евклідова простору (див. апроксимаційні теорема Вейєрштрасса), сприяли розвитку методів розкладання в ряди і поліноміальної інтерполяції в математичному аналізі.

Многочлени також відіграють ключову роль в алгебраїчної геометрії, об'єктом якої є множини, визначені як рішення систем многочленів. Особливі властивості перетворення коефіцієнтів при множенні многочленів використовуються в алгебраїчній геометрії, алгебри, теорії вузлів та інших розділах математики для кодування, або вирази многочленами властивостей різних об'єктів.

2. Пов'язані визначення

Многочлен називається унітарним або наведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці.
Многочлен виду називається одночленів або мономах
- Одночлен, відповідний мультііндексу $I = (0, \ dots, \, 0)$ називається вільним членом.
У випадку, коли многочлен має всього два ненульових члена, його називають двучленной або біном,
У випадку, коли многочлен має всього три ненульових члена, його називають тричленної.
Повної ступенем (ненульового) одночлена називається ціле число .
- Ступенем многочлена називається максимальна зі ступенів його одночленів, тотожний нуль не має ступені
Безліч мультііндексов I , Для яких коефіцієнти c _I ненульові, називається носієм многочлена, а його опукла оболонка - багатогранником Ньютона.
Коефіцієнти многочлена зазвичай беруться з певного комутативної кільця R (Найчастіше поля, наприклад, поля речових або комплексних чисел). У цьому випадку, щодо операцій додавання і множення многочлени утворюють кільце (більше того асоціативно-комутативну алгебру над кільцем R без дільників нуля) яке позначається: $R [x_1, x_2, \ dots, x_n].$

3. Подільність

Многочлен, який можна представити у вигляді добутку многочленів нижчих ступенів з коефіцієнтами з даного поля, називається приводиться (над даним полем), в іншому випадку - непріводімим. Непріводімие багаточлени грають в кільці многочленів роль, подібну до ролі простих чисел в кільці цілих чисел. Наприклад, вірна теорема: якщо твір p q ділиться на непріводімий многочлен λ , То p або q ділиться на λ . Кожен многочлен, ступеня більшою нуля, розкладається в даному полі у твір непріводімий множників єдиним чином (з точністю до множників нульової ступеня).

Наприклад, многочлен x ⁴ - 2 , Непріводімий в поле раціональних чисел, розкладається на три множника в поле дійсних чисел і на чотири множника в поле комплексних чисел.

Взагалі, кожен многочлен від одного змінного x розкладається в поле дійсних чисел на множники першого та другого ступеня, в поле комплексних чисел - на множники першого ступеня ( основна теорема алгебри).

Для двох і більшого числа змінних цього вже не можна стверджувати. Над будь-яким полем для будь-якого n> 2 існують многочлен від n змінних, Непріводімие в будь-якому розширенні цього поля. Такі многочлени називаються абсолютно непріводімим.

4. Поліноміальні функції

Нехай A є алгебра над кільцем R . Довільний многочлен $p (x) \ in R [x_1, x_2, \ dots, x_n]$ визначає поліноміальну функцію

$p_R: A \ to A$ .

Найчастіше розглядають випадок A = R .

У випадку, якщо R є поле речових або комплексних чисел (а також будь-яке інше поле з нескінченним числом елементів), функція $f_p: R ^ n \ to R$ повністю визначає многочлен p. Проте в загальному випадку це невірно, наприклад: многочлени $p_1 (x) \ equiv x$ і $p_2 (x) \ equiv x ^ 2$ з $\ Z_2 [x]$ визначають тотожно рівні функції $\ Z_2 \ to \ Z_2$ .

5. Властивості

Кільце многочленів над довільній областю цілісності саме є областю цілісності.
Кільце многочленів від будь-якого кінцевого числа змінних над будь-яким факторіальних кільцем саме є факторіальних.
Кільце многочленів від одного змінного над полем є кільцем головних ідеалів, тобто будь-якій його ідеал може бути породжений одним елементом.
- Більш того, кільце многочленів від одного змінного над полем є евклідовим кільцем.

6. Варіації і узагальнення

Якщо у визначенні допустити також негативні ступеня, то отриманий об'єкт називається многочленом Лорана (див. ряд Лорана).
Квазімногочлен
Тригонометричний многочлен

Література

Винберг Е. Б. Алгебра багаточленів - М .: Просвещение, 1980. - 176 с.
Солодовников А. С, Батьківщина М. А. Задачник-практикум з алгебри - М .: Просвещение, 1985. - 127 с.
В. В. Прасолов Многочлени - МЦНМО, 2003. - 336 с. - ISBN 5-94057-077-1.
Тадея Д. К., соминського І. С. Збірник задач з вищої алгебри - М ., 1977.