Модель Дебая

Перегляд цього шаблону Статистична фізика
S = k_B \, \ ln \ Omega
Термодинаміка
Молекулярно-кінетична теорія
Статистики
Максвелла-Больцмана

Бозе-Ейнштейна Фермі-Дірака
Parastatistics Еніонная статистика
Braid statistics

Ансамблі
Мікроканоніческій Канонічний
Великий канонічний
Ізотерм-ізобаріческом
Ізоенатльпі-ізобаріческом
Відкритий
Термодинаміка
Рівняння стану Цикл Карно Закон Дюлонга - Пті
Моделі
Модель Дебая Ейнштейна Модель Изинга
Потенціали
Внутрішня енергія Ентальпія
Вільна енергія Гельмгольца
потенціал Гіббса Великий термодинамічний потенціал
Відомі вчені
Максвелл Гіббс Больцман
Див також: Портал: Фізика

В термодинаміці і фізиці твердого тіла модель Дебая - метод, розвинений Дебаєм в 1912 р. для оцінки фононного вкладу в теплоємність твердих тіл. Модель Дебая розглядає коливання кристалічної решітки як газ квазічастинок - фононів. Ця модель правильно пророкує теплоємність при низьких температурах, яка, згідно закону Дебая, пропорційна T ^ 3 . У межі високих температур теплоємність прагне до 3R, згідно закону Дюлонга - Пті.

При тепловій рівновазі енергія E набору осциляторів з різними частотами \ Omega_ \ bold {K} дорівнює сумі їх енергій:

E = \ sum_ \ bold {K} {\ langle n_ \ bold {K} \ rangle \ hbar \ omega_ \ bold {K}} = \ int {D (\ omega) n (\ omega) \ hbar \ omega d \ omega}

де D (\ omega) - Число мод нормальних коливань на одиницю довжини інтервалу частот, n (\ omega) - Кількість осциляторів в твердому тілі, хто вагається з частотою ω.

Функція щільності D (\ omega) в тривимірному випадку має вигляд:

D (\ omega) = \ frac {V \ omega ^ 2} {2 \ pi ^ 2 v ^ 3}

де V - об'єм твердого тіла, v - Швидкість звуку в ньому.

Значення квантових чисел обчислюються за формулою Планка :

n = \ frac {1} {e ^ \ frac {\ hbar \ omega} {k_BT} -1}

Тоді енергія запишеться у вигляді

E = d \ omega}

\ Frac {U} {Nk_B} = 9T \ left ({T \ over T_D} \ right) ^ 3 \ int \ limits_0 ^ {T_D / T} {x ^ 3 \ over e ^ x-1} \, dx

де T_D - температура Дебая, N - Число атомів у твердому тілі, k_B - постійна Больцмана.

Диференціюючи внутрішню енергію по температурі отримаємо:

\ Frac {c_v} {Nk_B} = 9 \ left ({T \ over T_D} \ right) ^ 3 \ int \ limits_0 ^ {T_D / T} \ frac {x ^ 4e ^ x} {(e ^ x-1 ) ^ 2} \, dx

Молярна теплоємність твердого тіла в теорії Дебая

У моделі Дебая враховано, що теплоємність твердого тіла - це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, порушувані в твердому тілі елементарними осциляторами, не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b, c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:

n 1 λ x / 2 = a; n 2 λ y / 2 = b; n 3 λ z / 2 = c; (n 1, n 2, n 3 - цілі числа)

Перейдемо до простору, побудованому на хвильових векторах. Оскільки K = 2π / λ, то

K x = 2π / λ x = π n 1 / a; K y = 2π / λ y = π n 2 / b; K z = 2π / λ z = π n 3 / c

Таким чином, в твердому тілі можуть існувати осцилятори, з частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятор в К-просторі відповідає осередок з об'ємом

τ = ΔK x ΔK y ΔK z = \ Frac {\ pi ^ 3} {a \ cdot b \ cdot c} = \ frac {\ pi ^ 3} {V} ,

де

ΔK x = π / a; ΔK y = π / b; ΔK z = π / c

В до-просторі осцилляторам з частотами в інтервалі (ω, ω + dω) відповідає один октант сферичного шару з об'ємом

dV k = 4πK 2 dK / 8 = πK 2 dK / 2

У цьому обсязі кількість осциляторів одно

dN k = dV k / τ = \ Frac {VK ^ {2} dK} {2 \ pi ^ 2}

Врахуємо, що кожен осцилятор генерує 3 хвилі: 2 поперечні і одну подовжню. При цьому K | | = ω / v | |, K = ω / v

Знайдемо внутрішню енергію одного благаючи твердого тіла. Для цього запишемо взаємозв'язок між хвильовим числом, швидкістю поширення хвиль і частотою.

K ^ 2 = K_ \ | ^ 2 + 2K_ \ bot ^ 2 = \ left (\ frac {1} {v_ \ | ^ 2} + \ frac {2} {v_ \ bot ^ 2} \ right) \ omega ^ 2

d N_k = \ frac {V} {2 \ pi ^ 2} \ left (\ frac {1} {v_ \ | ^ 2} + \ frac {2} {v_ \ bot ^ 2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ omega ^ 2 d \ omega = A \ omega ^ 2 d \ omega

Коливання в твердому тілі обмежені максимальним значенням частоти \ Omega_m . Визначимо граничну частоту з умови:

N = \ int d N_k = \ int_0 ^ {\ omega_ m} A \ omega ^ 2 d \ omega = A \ frac {\ omega_m ^ 3} {3} = 3 N_a

d N_k = 9N_a \ frac {\ omega ^ 2 d \ omega} {\ omega ^ 3_m}

Звідси:

U_M = \ int <\ varepsilon> d N_k = \ int_0 ^ {\ omega_m} \ hbar \ omega \ left (\ frac {1} {e ^ \ frac {\ hbar \ omega} {K_B T} - 1} + \ frac {1} {2} \ right) 9N_a \ frac {\ omega ^ 2 d \ omega} {\ omega ^ 3_m}

<Є> - середня енергія квантового осцилятора (див. модель теплоємності Ейнштейна).

Кв - постійна Больцмана.

Na - число Авогадро.

В останньому виразі зробимо наступну заміну змінних:

X = \ frac {\ hbar \ omega} {K_B T} ; ℏ ω = K В θ; X_m = \ frac {\ hbar \ omega _m} {K_B T} = \ Theta / T ; \ Frac {\ omega} {\ omega _m} = X \ frac {K_B T} {\ hbar} \ frac {\ hbar} {K_B \ Theta} = X \ frac {T} {\ Theta} = X \ frac { K_B T} {\ hbar \ omega _m}

Θ - температура Дебая

Тепер для U M отримаємо

U_M = 9N_a \ hbar \ int_0 ^ {\ omega _m} \ left (\ frac {1} {e ^ x - 1} + \ frac {1} {2} \ right) \ frac {\ omega ^ 3 d \ omega } {\ omega ^ 3 _m} = 9N_a \ hbar \ left (\ frac {T} {\ theta} \ right) ^ 3 \ frac {K_B T} {\ hbar} \ int_0 ^ {\ frac {\ theta} { T}} \ left (\ frac {1} {e ^ x - 1} + \ frac {1} {2} \ right) x ^ 3 dx =

= 9RT \ left (\ frac {T} {\ theta} \ right) ^ 3 \ int_0 ^ {\ frac {\ theta} {T}} (\ frac {1} {e ^ x-1} + \ frac { 1} {2}) x ^ 3 dx = 9R \ theta \ left [\ frac {1} {8} + \ left (\ frac {T} {\ theta} \ right) ^ 4 \ int_0 ^ {\ frac { \ theta} {T}} \ frac {x ^ 3dx} {e ^ x - 1} \ right]

Нарешті, для молярної теплоємності отримуємо

C = dU M / ​​dT = 3R \ Left [12 {\ left (\ frac {T} {\ Theta} \ right)} ^ 3 \ int_0 ^ {\ Theta / T} \ frac {X ^ 3} {e ^ X-1} dX - \ frac {3 \ Theta / T} {e ^ {\ Theta / T} -1} \ right]

Легко перевірити, що за умови T → ∞ C → 3R, а за умови T → 0 C → \ Frac {12R \ cdot \ pi ^ 4} {5 \ cdot \ Theta ^ 3} \ cdot T ^ 3 ~ T 3

Інтеграл \ Int_0 ^ \ infty \ frac {X ^ 3} {e ^ X-1} dX = \ frac {\ pi ^ 4} {15} може бути взятий методами теорії функцій комплексної змінної або з використанням дзета-функції Рімана. Таким чином, теорія Дебая відповідає результатам експериментів.


Література