Модель Хаббарда

Модель Хаббарда - наближення, використовуване в фізиці твердого тіла для опису переходу між проводять і діелектричним станами. Названа на честь Джона Хаббарда. Є найпростішою моделлю, що описує взаємодію частинок в решітці. Її гамільтоніан містить тільки два доданків: кінетичний член, відповідний ТУНЕЛЮВАННЯ ("перескок") часток між вузлами решітки, і доданок, відповідне внутріузельному взаємодії. Частинки можуть бути ферміонами, як у вихідній роботі Хаббарда, а також бозонами.

Модель Хаббарда добре описує поведінку частинок в періодичному потенціалі при досить низьких температурах, коли всі частинки знаходяться в нижній блоховской зоні, а дальніми взаємодіями можна знехтувати. Якщо враховується взаємодія між частинками на різних вузлах, то таку модель часто називають "розширеної моделлю Хаббарда".

Вперше модель була запропонована (у 1963) для опису електронів в твердих тілах. З тих пір особливо цікава при вивченні високотемпературної надпровідності. Пізніше стала використовуватися при описі поведінки ультрахолодних атомів в оптичних решітках.

При розгляді електронів в твердих тілах, модель Хаббарда можна вважати ускладненням моделі сильно-зв'язаних електронів, яка враховує тільки Перескокова член гамильтониана. При сильних взаємодіях вони можуть видавати результати, значно відрізняються один від одного. При цьому модель Хаббарда точно пророкує існування так званих ізоляторів Мотта. У них провідність відсутня через сильний відштовхування між частинками.


Теорія

Модель Хаббарда заснована на наближенні сильно-зв'язаних електронів. У наближенні сильного зв'язку електрони спочатку займають стандартні орбіталі в атомах - вузлах решітки, а потім перескакують на інші атоми в процесі проведення струму. Математично це представляється т. зв. "Перескокова інтегралом". Його можна розглядати як фізичний принцип, завдяки якому з'являються електронні зони в кристалічних матеріалах. Однак більш загальні зонні теорії не звертаються до розгляду взаємодії між електронами. Крім перескокового інтеграла, що пояснює провідність матеріалу, модель Хаббарда містить також т. зв. "Внутріузельное відштовхування", відповідне кулонівське відштовхування між електронами. Це призводить до конкуренції між Перескокова інтегралом, залежних від взаємного розташування вузлів решітки, і внутріузельним відштовхуванням, яке від розташування атомів не залежить. Завдяки цьому факту модель Хаббарда пояснює перехід провідник - діелектрик в оксидах деяких перехідних металів. При нагріванні такого матеріалу відстань між найближчими сусідніми вузлами в ньому збільшується, Перескокова інтеграл зменшується, і внутріузельное відштовхування стає домінуючим фактором.


Одновимірна ланцюжок атомів водню

В атомі водню є тільки один електрон на т. зв. s-орбіталі. Цей електрон може бути описаний своїм спіном : "спін вгору" ( \ Uparrow ), І "спін вниз" ( \ Downarrow ). На s-орбіталі може знаходитися максимум два електрона з протилежними спинами (див. Принцип Паулі).

Розглянемо одновимірну ланцюжок атомів водню. Відповідно до зонної теорією, електрони на 1s-орбіталі мають сформувати безперервну енергетичну зону, заповнену рівно наполовину, і тому що є зоною провідності. Тобто згідно звичайної зонної теорії одномірна ланцюжок атомів водню повинна бути провідної.

Але тепер уявімо собі, що відстань між сусідніми атомами поступово збільшується. У якийсь момент ланцюжок повинна перестати проводити струм.

З іншого боку, у поданні моделі Хаббарда, гамільтоніан системи містить два доданки. Перше з них - Перескокова інтеграл "t", що відповідає за кінетичну енергію електронів. Друге - внутріузельное відштовхування "U", відповідне потенційної енергії кулонівського відштовхування електронів. Записаний під вторинному квантуванні гамільтоніан Хаббарда виглядає наступним чином:

H =-t \ sum_ {<i,j>, \ sigma} (c ^ {\ dagger} _ {i, \ sigma} c ^ {} _ {j, \ sigma} + hc) + U \ sum_ {i = 1} ^ {N} n_ {i \ uparrow} n_ {i \ downarrow}, де <i,j> означає найближчі вузли в решітці.

Без другого доданка гамільтоніан Хаббарда стає гамільтоніаном сильного зв'язку із стандартної зонної теорії.

Якщо ж другий доданок враховується, ми отримуємо більш реалістичну модель, що пояснює перехід з проводить стану в діелектричне при збільшенні міжатомної відстані. У межі нескінченного міжатомної відстані (або без урахування першого члена гамильтониана) ланцюжок розбивається на сукупність ізольованих магнітних моментів.