Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Монотонна функція



План:


Введення

Монотонна функція - це функція, прирощення якої не змінює знака, тобто або завжди невід'ємне, або завжди непозитивно. Якщо на додаток прирощення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонним. Монотонна функція - це функція, що змінюється в одному і тому ж напрямку.

Функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Функція убуває, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.


1. Визначення

Нехай дана функція f: M \ subset \ R \ to \ R. Тоді

  • функція f називається зростаючою на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ ge f (y) .
  • функція f називається строго зростаючої на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x)> f (y) .
  • функція f називається спадною на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) \ le f (y) .
  • функція f називається строго спадною на M , Якщо
\ Forall x, y \ in M, \; x> y \ Rightarrow f (x) <f (y) .

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.


2. Інша термінологія

Іноді зростаючі функції називають неубутною, а убуваючі функції невозрастающімі. Строго зростаючі функції тоді звуть просто зростаючими, а строго убуваючі просто убутними.

3. Властивості монотонних функцій


4. Умови монотонності функції

  • (Критерій монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція f \ in C \ bigl ((a, b) \ bigr) неперервна на (A, b), і має в кожній точці x \ in (a, b)похідну f '(x). Тоді
    f зростає на (A, b) тоді і тільки тоді, коли \ Forall x \ in (a, b) \; f '(x) \ ge 0;
    f убуває на (A, b) тоді і тільки тоді, коли \ Forall x \ in (a, b) \; f '(x) \ le 0.
  • (Достатня умова суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція f \ in C \ bigl ((a, b) \ bigr) неперервна на (A, b), і має в кожній точці x \ in (a, b) похідну f '(x). Тоді
    якщо \ Forall x \ in (a, b) \; f '(x)> 0, то f строго зростає на (A, b);
    якщо \ Forall x \ in (a, b) \; f '(x) <0, то f строго убуває на (A, b).

Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Похідна строго монотонною функції може звертатися в нуль. Однак, безліч точок, де похідна не дорівнює нулю, має бути щільно на інтервалі (A, b). Точніше має місце

  • (Критерій суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай f \ in C \ bigl ((a, b) \ bigr), і всюди на інтервалі визначена похідна f '(x). Тоді f строго зростає на інтервалі (A, b) тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:
  1. \ Forall x \ in (a, b) \; f '(x) \ ge 0;
  2. \ Forall (c, d) \ subset (a, b) \; \ exists x \ in (c, d) \; f '(x)> 0.

Аналогічно, f строго убуває на інтервалі (A, b) тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:

  1. \ Forall x \ in (a, b) \; f '(x) \ le 0;
  2. \ Forall (c, d) \ subset (a, b) \; \ exists x \ in (c, d) \; f '(x) <0.

5. Приклади


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Монотонна послідовність
R-функція
θ-функція
Функція
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Ландау
Функція Аккермана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru