Натуральний логарифм

План:

1 Історія
2 Конвенції про позначеннях
3 Походження терміну натуральний логарифм
4 Визначення
5 Властивості
6 Похідна, ряд Тейлора
7 Натуральний логарифм в інтегруванні
8 Чисельне значення
- 8.1 Висока точність
- 8.2 Обчислювальна складність
9 Безперервні дробу
10 Комплексні логарифми

Введення

Графік функції натурального логарифма. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності при збільшенні x і швидко наближається до негативної нескінченності, коли x прямує до 0 ("повільно" і "швидко" у порівнянні з будь степеневою функцією від x).

Натуральний логарифм - це логарифм по основи e, де e - ірраціональна константа, рівна приблизно 2,718 281 828 . Натуральний логарифм зазвичай позначають як ln (x), log _e (x) або іноді просто log (x), якщо підстава e мається на увазі. ^[1]

Натуральний логарифм числа x (записується як ln (x)) - це показник ступеня, в яку потрібно звести число e, щоб отримати x. Наприклад, ln (7,389 ...) дорівнює 2, тому що e ² = 7,389 .... Натуральний логарифм самого числа e (ln (e)) дорівнює 1, тому що e ¹ = e, а натуральний логарифм 1 (ln (1)) дорівнює 0, оскільки e ⁰ = 1.

Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного дійсного числа a як площа під кривою y = 1 / x від 1 до a. Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується натуральний логарифм, призвела до появи назви "натуральний". Це визначення можна розширити на комплексні числа, про що буде сказано нижче.

Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є зворотного функцією до експоненціальної функції, що призводить до тотожностям:

$e ^ {\ ln (a)} = a \ qquad \ mbox {if} a> 0 \, \!$

$\ Ln (e ^ a) = a. \, \!$

Подібно всім логарифмам, натуральний логарифм відображає множення в додавання:

$\ Ln (xy) = \ ln (x) + \ ln (y) \! \,$

Таким чином, логарифмічна функція являє собою ізоморфізм групи позитивних дійсних чисел відносно множення на групу дійсних чисел по додаванню, який можна представити у вигляді функції :

$\ Ln: \ mathbb {R} ^ + \ to \ mathbb {R}.$

Логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного підстави, відмінного від 1, а не тільки для e, але логарифми для інших підстав відрізняються від натурального логарифма тільки постійним множником, і, як правило, визначаються в термінах натурального логарифма. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, в яких невідомі присутні в якості показника ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійної розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для знаходження часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони відіграють важливу роль у багатьох областях математики і прикладних наук, застосовуються у сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи знаходження складних відсотків.

1. Історія

Перша згадка натурального логарифма зробив Ніколас Меркатор в роботі Logarithmotechnia, опублікованій в 1668 році ^[2], хоча вчитель математики Джон Спайделл ще в 1619 році склав таблицю натуральних логарифмів. ^[3] Раніше його називали гіперболічним логарифмом, ^[4] оскільки він відповідає площі під гіперболою. Іноді його називають логарифмом Непера, хоча первісний зміст цього терміна було дещо інший.

2. Конвенції про позначеннях

2.1. Російська (і радянська в цілому) система

Натуральний логарифм прийнято позначати через "ln (x)", логарифм за основою 10 - через "lg (x)", а інші підстави прийнято вказувати явно при символі "log".

У багатьох роботах по дискретній математиці, кібернетиці, інформатиці автори використовують позначення "log (x)" для логарифмів за основою 2, але ця угода не є загальноприйнятим і вимагає роз'яснення або у списку використаних позначень, або (за відсутності такого списку) виноскою або коментарем при першому використанні.

Дужки навколо аргументу логарифмів (якщо це не призводить до помилкового читання формули) зазвичай опускають, а при зведенні логарифма в ступінь показник приписують безпосередньо до знака логарифма: ln ² ln ^{3 квітня} x ⁵ = [ln ([ln (4 x ^{5)] 3} )] ^2.

2.2. Англо-американська система

Математики, статистики та частина інженерів зазвичай використовують для позначення натурального логарифма або "log (x)", або "ln (x)", а для позначення логарифма за основою 10 - "log ₁₀ (x)".

Деякі інженери, біологи та інші спеціалісти завжди пишуть "ln (x)" (або зрідка "log _e (x)"), коли вони мають на увазі натуральний логарифм, а запис "log (x)" у них означає log ₁₀ (x).

В теоретичної інформатики, теорії інформації та криптографії "log (x)" зазвичай означає логарифм за основою 2 "log ₂ (x)" (хоча часто замість цього пишеться просто lg (x)).

2.3. Техніка

У найбільш часто використовуваних мовах програмування і пакетах прикладних програм, включаючи C, C + +, SAS, MATLAB, Фортран і BASIC функція "log" або "LOG" відноситься до натурального логарифму.

У ручних калькуляторах натуральний логарифм позначається ln, тоді як log служить для позначення логарифма за основою 10.

3. Походження терміну натуральний логарифм

Спочатку може здатися, що оскільки наша система числення має підставу 10, то це підстава є більш "натуральним", ніж підстава e. Але математично число 10 не є особливо значущим. Його використання швидше пов'язано з культурою, воно є загальним для багатьох систем числення, і пов'язано це, ймовірно, з числом пальців у людей. ^[5] Деякі культури засновували свої системи числення на інших підставах: 5, 8, 12, 20 і 60. ^[6] ^[7] ^[8]

log _e є "натуральним" логарифмом, оскільки він виникає автоматично і з'являється в математиці дуже часто. Наприклад, розглянемо проблему похідної логарифмічної функції: ^[9]

$\ Frac {d} {dx} \ log_b (x) = \ frac {d} {dx} \ left (\ frac {1} {\ ln (b)} \ ln {x} \ right) = \ frac {1 } {\ ln (b)} \ frac {d} {dx} \ ln {x} = \ frac {1} {x \ ln (b)}$

Якщо підстава b одно e, то похідна дорівнює просто 1 / x, а при x = 1 ця похідна дорівнює 1. Іншим обгрунтуванням, по якому підстава e логарифма є найбільш натуральним, є те, що він може бути досить просто визначений в термінах простого інтеграла або ряду Тейлора, чого не можна сказати про інші логарифмах.

Подальші обгрунтування натуральності не пов'язані зі численням. Так, наприклад, є кілька простих рядів з натуральними логарифмами. П'єтро Менголі і Микола Меркатор називали їх логаріфмус Натураліс кілька десятиліть до тих пір, поки Ньютон і Лейбніц не розробили диференціальне та інтегральне числення. ^[10]

4. Визначення

ln (a) визначається як площа під кривою f (x) = 1 / x від 1 до a.

Формально ln (a) може бути визначений як площа під кривою графіка 1 / x від 1 до a, тобто як інтеграл :

$\ Ln (a) = \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \, dx.$

Це дійсно логарифм, оскільки він задовольняє фундаментальному властивості логарифма:

$\ Ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b) \, \!$

Це можна продемонструвати, допускаючи $t = \ tfrac xa$ наступним чином:

$\ Ln (ab) = \ int_1 ^ {ab} \ frac {1} {x} \; dx = \ int_1 ^ a \ frac {1} {x} \; dx \; + \ int_a ^ {ab} \ frac {1} {x} \; dx = \ int_1 ^ {a} \ frac {1} {x} \; dx \; + \ int_1 ^ {b} \ frac {1} {t} \; dt = \ ln (a) + \ ln (b)$

Число e може бути визначено як єдине дійсне число a таке, що ln (a) = 1.

Або ж, якщо показова функція була визначена раніше з використанням нескінченних рядів, натуральний логарифм може бути визначений як зворотна до неї функція, тобто ln - це функція, така що $e ^ {\ ln (x)} = x \!$ . Так як діапазон значень експоненціальної функції від реальних аргументів є всі позитивні дійсних числа, а експоненціальна функція строго зростає, то це добре певна функція для всіх позитивних x.

5. Властивості

$\ Ln (1) = 0 \,$

$\ Ln (-1) = i \ pi \ quad \,$

(Комплексний логарифм)

$\ Ln (x) <\ ln (y) \ quad {\ rm for} \ quad 0 <x <y \;$

$\ Frac {h} {1 + h} \ leq \ ln (1 + h) \ leq h \ quad {\ rm for} \ quad h> -1 \;$

$\ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ ln (1 + x)} {x} = 1. \,$

6. Похідна, ряд Тейлора

Поліноми Тейлор дають точну апроксимацію для $\ Ln (1 + x) \,$ тільки в діапазоні -1 ≤ 1. Зауважимо, що для x> 1 поліноми Тейлора більш високого ступеня дають апроксимацію гірше.

Похідна натурального логарифма дорівнює

$\ Frac {d} {dx} \ ln (x) = \ frac {1} {x}. \,$

На підставі цього можна виконати розкладання $\ Ln (1 + x) \,$ в ряд Тейлора близько 0, званого іноді поруч Меркатора:

$\ Ln (1 + x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n +1}} {n} x ^ n = x - \ frac {x ^ 2} {2 } + \ frac {x ^ 3} {3} - \ dots \ quad {\ rm for} \ quad \ left | x \ right | \ leq 1 \ quad$
${\ Rm unless} \ quad x = -1$

Праворуч дано зображення $\ Ln (1 + x) \,$ і деяких її поліномів Тейлора близько 0. Ці апроксимації сходяться до функції тільки в області -1 ≤ 1, а за її межами поліноми Тейлора вищих ступенів дають апроксимацію менш точну.

Підставляючи x -1 для x, отримаємо альтернативну форму для ln (x), а саме:

$\ Ln (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n +1}} {n} (x-1) ^ n$

$\ Ln (x) = (x - 1) - \ frac {(x-1) ^ 2} {2} + \ frac {(x-1) ^ 3} {3} - \ frac {(x-1) ^ 4} {4} + \ dots$

${\ Rm for} \ quad \ left | x-1 \ right | \ leq 1 \ quad {\ rm unless} \ quad x = 0.$ ^[11]

За допомогою перетворення Ейлера ряду Меркатор можна отримати наступне вираз, яке справедливо для будь-якого х більше 1 по абсолютній величині:

$\ Ln {x \ over {x-1}} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty {1 \ over {nx ^ n}} = {1 \ over x} + {1 \ over {2x ^ 2} } + {1 \ over {3x ^ 3}} + \ dots$

Цей ряд схожий на формулу Бейлі-Боруейна-Плаффа.

Також зауважимо, що $x \ over {x-1}$ - Це її власна Інверн функція, тому для отримання натурального логарифма певного числа y потрібно просто для x привласнити значення $y \ over {y-1}$ .

7. Натуральний логарифм в інтегруванні
Натуральний логарифм дає просту інтегральну функцію виду g (x) = f '(x) / f (x): первообразная функції g (x) має вигляд ln (| f (x) |). Це підтверджується ланцюговим правилом і таким фактом:
$\ {D \ over dx} \ left (\ ln \ left | x \ right | \ right) = {1 \ over x}.$
В іншому вигляді:
$\ Int {1 \ over x} dx = \ ln | x | + C$
і
$\ Int {\ frac {f '(x)} {f (x)} \, dx} = \ ln | f (x) | + C.$
Нижче дан приклад для g (x) = tan (x):
$\ Int \ tan (x) \, dx = \ int {\ sin (x) \ over \ cos (x)} \, dx$
$\ Int \ tan (x) \, dx = \ int {- {d \ over dx} \ cos (x) \ over {\ cos (x)}} \, dx.$
Нехай f (x) = cos (x) і f '(x) = - sin (x):
$\ Int \ tan (x) \, dx = - \ ln {\ left | \ cos (x) \ right |} + C$
$\ Int \ tan (x) \, dx = \ ln {\ left | \ sec (x) \ right |} + C$
де C - довільна константа.
Натуральний логарифм можна проінтегрувати за допомогою інтегрування по частинах :
$\ Int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) - x + C.$

8. Чисельне значення
Для розрахунку чисельного значення натурального логарифма числа можна використовувати розкладання його в ряд Тейлора у вигляді:
$\ Ln (1 + x) = x \, \ left (\ frac {1} {1} - x \, \ left (\ frac {1} {2} - x \, \ left (\ frac {1} { 3} - x \, \ left (\ frac {1} {4} - x \, \ left (\ frac {1} {5} - \ dots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right) \ quad {\ rm for} \ quad \ left | x \ right | <1. \, \!$
Щоб отримати кращу швидкість збіжності, можна скористатися наступним тотожністю:
$\ Ln (x) = \ ln \ left (\ frac {1 + y} {1-y} \ right)$ $= 2 \, y \, \ left (\ frac {1} {1} + \ frac {1} {3} y ^ {2} + \ frac {1} {5} y ^ {4} + \ frac { 1} {7} y ^ {6} + \ frac {1} {9} y ^ {8} + \ dots \ right)$
$= 2 \, y \, \ left (\ frac {1} {1} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {3} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {5} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {7} + y ^ {2} \, \ left (\ frac {1} {9} + \ dots \ right) \ right) \ right) \ right) \ right)$
за умови, що y = (x -1) / (x +1) і x> 0.
Для ln (x), де x> 1, чим ближче значення x до 1, тим швидше швидкість збіжності. Тотожності, пов'язані з логарифмом, можна використовувати для досягнення мети:
$\ Ln (123 {,} 456) \!$ $= \ Ln (1 {,} 23456 \ times 10 ^ 2) \, \!$
$= \ Ln (1 {,} 23456) + \ ln (10 ^ 2) \, \!$
$= \ Ln (1 {,} 23456) + 2 \ times \ ln (10) \, \!$
$\ Approx \ ln (1 {,} 23456) + 2 \ times 2 {,} 3025851 \, \!$
Ці методи застосовувалися ще до появи калькуляторів, для чого використовувалися числові таблиці та виконувалися маніпуляції, аналогічні вищеописаним.

8.1. Висока точність
Для обчислення натурального логарифма з великою кількістю цифр точності ряд Тейлора не є ефективним, оскільки його збіжність повільна. Альтернативою є використання методу Ньютона, щоб інвертувати в експоненційну функцію, ряд якій сходиться швидше.
Альтернативою для дуже високої точності розрахунку є формула: ^[12] ^[13]
$\ Ln x \ approx \ frac {\ pi} {2 M (1,4 / s)} - m \ ln 2$
де M позначає арифметико-геометричне середнє 1 і 4 / s, і
$s = x \, 2 ^ m> 2 ^ {p / 2},$
m вибрано так, що p знаків точності досягається. (У більшості випадків значення 8 для m цілком достатньо.) У самому справі, якщо використовується цей метод, може бути застосована інверсія Ньютона натурального логарифма для ефективного обчислення експоненціальної функції. (Константи ln 2 і пі можуть бути попередньо обчислені до бажаної точності, використовуючи будь-який з відомих швидко збіжних рядів.)

8.2. Обчислювальна складність
Обчислювальна складність натуральних логарифмів (за допомогою арифметико-геометричного середнього) дорівнює O (M (n) ln n). Тут n - число цифр точності, для якої натуральний логарифм повинен бути оцінений, а M (n) - обчислювальна складність множення двох n-значних чисел.
9. Безперервні дробу
Хоча для представлення логарифма відсутні прості безперервні дробу, але можна використовувати кілька узагальнених неперервних дробів, у тому числі:
$\ Log (1 + x) = \ frac {x ^ 1} {1} - \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} - \ frac {x ^ 4} {4 } + \ frac {x ^ 5} {5} - \ dots = \ cfrac {x} {1-0x + \ cfrac {1 ^ 2x} {2-1x + \ cfrac {2 ^ 2x} {3-2x + \ cfrac { 3 ^ 2x} {4-3x + \ cfrac {4 ^ 2x} {5-4x + \ ddots}}}}}$
$\ Log \ left (1 + \ frac {2x} {y} \ right) = \ cfrac {2x} {y + \ cfrac {x} {1 + \ cfrac {x} {3y + \ cfrac {2x} {1 + \ cfrac {2x} {5y + \ cfrac {3x} {1 + \ ddots}}}}}} = \ cfrac {2x} {y + x-\ cfrac {(1x) ^ 2} {3 (y + x) - \ cfrac {(2x) ^ 2} {5 (y + x) - \ cfrac {(3x) ^ 2} {7 (y + x) - \ ddots}}}}$

10. Комплексні логарифми
Експоненціальна функція може бути розширена до функції, яка дає комплексне число виду e ^x для будь-якого довільного комплексного числа x, при цьому використовується нескінченний ряд з комплексним x. Ця показова функція може бути інвертований з утворенням комплексного логарифма, який буде володіти більшою частиною властивостей звичайних логарифмів. Є, однак, дві труднощі: не існує x, для якого e ^x = 0, і виявляється, що e ^{2 πi} = 1 = e ^0. Оскільки властивість мультипликативности дійсно для комплексної експоненційної функції, то e ^z = e ^{z +2 nπi} для всіх комплексних z і цілих n.
Логарифм не може бути визначений на всій комплексній площині, і навіть при цьому він є багатозначним - будь комплексний логарифм може бути замінений на "еквівалентний" логарифм, додавши будь-яке ціле число, кратне 2 πi. Комплексний логарифм може бути однозначним тільки на зрізі комплексній площині. Наприклад, ln i = 1/2 πi або 5/2 πi або -3 / 2 πi, і т.д., і хоча i ⁴ = 1, 4 log i може бути визначена як 2 πi, або 10 πi або -6 πi, і так далі.
Функції натурального логарифма на комплексній площині (головна гілка)

z = Re (ln (x + iy))

z = Im (ln (x + iy))

z = | ln (x + iy) |

Суперпозиція трьох попередніх графіків

Примітки
Mathematics for physical chemistry - books.google.com / books? id = nGoSv5tmATsC. - 3rd. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9 - books.google.com / books? id = nGoSv5tmATsC & pg = PA9
JJ O'Connor AND EF Robertson The Number E - www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html. The MacTutor History of Mathematics archive (вересень 2001). Читальний - www.webcitation.org/65NiCJyO4 з першоджерела 12 лютого 2012.
Cajori Florian A History Of Mathematics, 5th ed - books.google.com /? id = mGJRjIC9fZgC & dq = "Cajori" "A History of Mathematics". - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Estimating Integrals Using Polynomials - www.humboldt.edu/ ~ mef2/Presentations/Estimations.html. Читальний - www.webcitation.org/65NiCr1s9 з першоджерела 12 лютого 2012.
Boyers Carl A History of Mathematics. - John Wiley & Sons, 1968.
Harris, John (1987). " Australian Aboriginal and Islander mathematics - www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf "(PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29-37.
Large, JJ (1902). " The vigesimal system of enumeration - www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636 ". Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260-261.
Cajori first = Florian (1922). "Sexagesimal fractions among the Babylonians". American Mathematical Monthly 29 (1): 8-10. DOI : 10.2307/2972914 - dx.doi.org/10.2307/2972914.
Larson Ron Calculus: An Applied Approach - books.google.com / books? id = rbDG7V0OV34C. - 8th. - Cengage Learning, 2007. - P. 331. - ISBN 0-618-95825-8
Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest - www.pballew.net/arithme1.html # ln. Читальний - www.webcitation.org/65NiDLLaT з першоджерела 12 лютого 2012.
"Logarithmic Expansions" at Math2.org - www.math2.org/math/expansion/log.htm
(1982) " Practically fast multiple-precision evaluation of log (x) - ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 ". Journal of Information Processing 5 (4): 247-250. Перевірено 30 March 2011.
(1999) "Fast computations of the exponential function" 1564: 302-312. DOI : 10.1007/3-540-49116-3_28 - dx.doi.org/10.1007/3-540-49116-3_28.