Знаймо![]() приховати рекламу
| Цей текст може містити помилки.
ВведенняНатуральний логарифм - це логарифм по основи e, де e - ірраціональна константа, рівна приблизно 2,718 281 828 . Натуральний логарифм зазвичай позначають як ln (x), log e (x) або іноді просто log (x), якщо підстава e мається на увазі. [1] Натуральний логарифм числа x (записується як ln (x)) - це показник ступеня, в яку потрібно звести число e, щоб отримати x. Наприклад, ln (7,389 ...) дорівнює 2, тому що e 2 = 7,389 .... Натуральний логарифм самого числа e (ln (e)) дорівнює 1, тому що e 1 = e, а натуральний логарифм 1 (ln (1)) дорівнює 0, оскільки e 0 = 1. Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного дійсного числа a як площа під кривою y = 1 / x від 1 до a. Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується натуральний логарифм, призвела до появи назви "натуральний". Це визначення можна розширити на комплексні числа, про що буде сказано нижче. Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є зворотного функцією до експоненціальної функції, що призводить до тотожностям: Подібно всім логарифмам, натуральний логарифм відображає множення в додавання: Таким чином, логарифмічна функція являє собою ізоморфізм групи позитивних дійсних чисел відносно множення на групу дійсних чисел по додаванню, який можна представити у вигляді функції : Логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного підстави, відмінного від 1, а не тільки для e, але логарифми для інших підстав відрізняються від натурального логарифма тільки постійним множником, і, як правило, визначаються в термінах натурального логарифма. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, в яких невідомі присутні в якості показника ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійної розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для знаходження часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони відіграють важливу роль у багатьох областях математики і прикладних наук, застосовуються у сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи знаходження складних відсотків. 1. ІсторіяПерша згадка натурального логарифма зробив Ніколас Меркатор в роботі Logarithmotechnia, опублікованій в 1668 році [2], хоча вчитель математики Джон Спайделл ще в 1619 році склав таблицю натуральних логарифмів. [3] Раніше його називали гіперболічним логарифмом, [4] оскільки він відповідає площі під гіперболою. Іноді його називають логарифмом Непера, хоча первісний зміст цього терміна було дещо інший. 2. Конвенції про позначеннях2.1. Російська (і радянська в цілому) системаНатуральний логарифм прийнято позначати через "ln (x)", логарифм за основою 10 - через "lg (x)", а інші підстави прийнято вказувати явно при символі "log". У багатьох роботах по дискретній математиці, кібернетиці, інформатиці автори використовують позначення "log (x)" для логарифмів за основою 2, але ця угода не є загальноприйнятим і вимагає роз'яснення або у списку використаних позначень, або (за відсутності такого списку) виноскою або коментарем при першому використанні. Дужки навколо аргументу логарифмів (якщо це не призводить до помилкового читання формули) зазвичай опускають, а при зведенні логарифма в ступінь показник приписують безпосередньо до знака логарифма: ln 2 ln 3 квітня x 5 = [ln ([ln (4 x 5)] 3 )] 2. 2.2. Англо-американська системаМатематики, статистики та частина інженерів зазвичай використовують для позначення натурального логарифма або "log (x)", або "ln (x)", а для позначення логарифма за основою 10 - "log 10 (x)". Деякі інженери, біологи та інші спеціалісти завжди пишуть "ln (x)" (або зрідка "log e (x)"), коли вони мають на увазі натуральний логарифм, а запис "log (x)" у них означає log 10 (x). В теоретичної інформатики, теорії інформації та криптографії "log (x)" зазвичай означає логарифм за основою 2 "log 2 (x)" (хоча часто замість цього пишеться просто lg (x)). 2.3. ТехнікаУ найбільш часто використовуваних мовах програмування і пакетах прикладних програм, включаючи C, C + +, SAS, MATLAB, Фортран і BASIC функція "log" або "LOG" відноситься до натурального логарифму. У ручних калькуляторах натуральний логарифм позначається ln, тоді як log служить для позначення логарифма за основою 10. 3. Походження терміну натуральний логарифмСпочатку може здатися, що оскільки наша система числення має підставу 10, то це підстава є більш "натуральним", ніж підстава e. Але математично число 10 не є особливо значущим. Його використання швидше пов'язано з культурою, воно є загальним для багатьох систем числення, і пов'язано це, ймовірно, з числом пальців у людей. [5] Деякі культури засновували свої системи числення на інших підставах: 5, 8, 12, 20 і 60. [6] [7] [8] log e є "натуральним" логарифмом, оскільки він виникає автоматично і з'являється в математиці дуже часто. Наприклад, розглянемо проблему похідної логарифмічної функції: [9] Якщо підстава b одно e, то похідна дорівнює просто 1 / x, а при x = 1 ця похідна дорівнює 1. Іншим обгрунтуванням, по якому підстава e логарифма є найбільш натуральним, є те, що він може бути досить просто визначений в термінах простого інтеграла або ряду Тейлора, чого не можна сказати про інші логарифмах. Подальші обгрунтування натуральності не пов'язані зі численням. Так, наприклад, є кілька простих рядів з натуральними логарифмами. П'єтро Менголі і Микола Меркатор називали їх логаріфмус Натураліс кілька десятиліть до тих пір, поки Ньютон і Лейбніц не розробили диференціальне та інтегральне числення. [10] 4. ВизначенняФормально ln (a) може бути визначений як площа під кривою графіка 1 / x від 1 до a, тобто як інтеграл : Це дійсно логарифм, оскільки він задовольняє фундаментальному властивості логарифма: Це можна продемонструвати, допускаючи Число e може бути визначено як єдине дійсне число a таке, що ln (a) = 1. Або ж, якщо показова функція була визначена раніше з використанням нескінченних рядів, натуральний логарифм може бути визначений як зворотна до неї функція, тобто ln - це функція, така що 5. Властивості
6. Похідна, ряд ТейлораПохідна натурального логарифма дорівнює На підставі цього можна виконати розкладання Праворуч дано зображення Підставляючи x -1 для x, отримаємо альтернативну форму для ln (x), а саме: За допомогою перетворення Ейлера ряду Меркатор можна отримати наступне вираз, яке справедливо для будь-якого х більше 1 по абсолютній величині: Цей ряд схожий на формулу Бейлі-Боруейна-Плаффа. Також зауважимо, що 7. Натуральний логарифм в інтегруванніНатуральний логарифм дає просту інтегральну функцію виду g (x) = f '(x) / f (x): первообразная функції g (x) має вигляд ln (| f (x) |). Це підтверджується ланцюговим правилом і таким фактом: В іншому вигляді: і Нижче дан приклад для g (x) = tan (x): Нехай f (x) = cos (x) і f '(x) = - sin (x): де C - довільна константа. Натуральний логарифм можна проінтегрувати за допомогою інтегрування по частинах : 8. Чисельне значенняДля розрахунку чисельного значення натурального логарифма числа можна використовувати розкладання його в ряд Тейлора у вигляді: Щоб отримати кращу швидкість збіжності, можна скористатися наступним тотожністю:
Для ln (x), де x> 1, чим ближче значення x до 1, тим швидше швидкість збіжності. Тотожності, пов'язані з логарифмом, можна використовувати для досягнення мети: Ці методи застосовувалися ще до появи калькуляторів, для чого використовувалися числові таблиці та виконувалися маніпуляції, аналогічні вищеописаним. 8.1. Висока точністьДля обчислення натурального логарифма з великою кількістю цифр точності ряд Тейлора не є ефективним, оскільки його збіжність повільна. Альтернативою є використання методу Ньютона, щоб інвертувати в експоненційну функцію, ряд якій сходиться швидше. Альтернативою для дуже високої точності розрахунку є формула: [12] [13] де M позначає арифметико-геометричне середнє 1 і 4 / s, і m вибрано так, що p знаків точності досягається. (У більшості випадків значення 8 для m цілком достатньо.) У самому справі, якщо використовується цей метод, може бути застосована інверсія Ньютона натурального логарифма для ефективного обчислення експоненціальної функції. (Константи ln 2 і пі можуть бути попередньо обчислені до бажаної точності, використовуючи будь-який з відомих швидко збіжних рядів.) 8.2. Обчислювальна складністьОбчислювальна складність натуральних логарифмів (за допомогою арифметико-геометричного середнього) дорівнює O (M (n) ln n). Тут n - число цифр точності, для якої натуральний логарифм повинен бути оцінений, а M (n) - обчислювальна складність множення двох n-значних чисел. 9. Безперервні дробуХоча для представлення логарифма відсутні прості безперервні дробу, але можна використовувати кілька узагальнених неперервних дробів, у тому числі: 10. Комплексні логарифмиЕкспоненціальна функція може бути розширена до функції, яка дає комплексне число виду e x для будь-якого довільного комплексного числа x, при цьому використовується нескінченний ряд з комплексним x. Ця показова функція може бути інвертований з утворенням комплексного логарифма, який буде володіти більшою частиною властивостей звичайних логарифмів. Є, однак, дві труднощі: не існує x, для якого e x = 0, і виявляється, що e 2 πi = 1 = e 0. Оскільки властивість мультипликативности дійсно для комплексної експоненційної функції, то e z = e z +2 nπi для всіх комплексних z і цілих n. Логарифм не може бути визначений на всій комплексній площині, і навіть при цьому він є багатозначним - будь комплексний логарифм може бути замінений на "еквівалентний" логарифм, додавши будь-яке ціле число, кратне 2 πi. Комплексний логарифм може бути однозначним тільки на зрізі комплексній площині. Наприклад, ln i = 1/2 πi або 5/2 πi або -3 / 2 πi, і т.д., і хоча i 4 = 1, 4 log i може бути визначена як 2 πi, або 10 πi або -6 πi, і так далі.
Примітки
Цей текст може містити помилки. Схожі роботи | скачати Схожі роботи: Логарифм Логарифм Натуральний параметр Інтегральний логарифм Натуральний звукоряд Натуральний стрій |