Негативна частота

Поняття негативною і позитивною частоти може бути показано на прикладі обертового в ту або іншу сторону вектора. Частота зі знаком відображає як швидкість, так і напрям обертання. Швидкість виражена в оборотах (циклах) в секунду ( герцах) або рад / с (де 1 оборот відповідає 2π радіанах).

Для заданого в часі сигналу такий вектор представляє його на комплексній площині. Залежність значення сигналу від часу є лише залежність проекції вектора на дійсну вісь від часу. Тому поняття негативної частоти не може бути представлено у вигляді некомплексних сигналів у часовій області і поширюється тільки на частотну.

Щоб сигнал був представимо в некомплексних вигляді, формула Ейлера вимагає рівності коефіцієнтів при комплесних експонентів частот різних знаків. Несиметричність спектру рівноцінна наявності в сигналі гармонік, заданих тільки для негативної частоти.

Розглянемо сигнал з девіацією частоти \ Pm \ Delta \ omega відносно несучої. При перенесенні несучої на нуль звичайним гетеродином інформація спотворюється. Тому для правильної обробки необхідно використовувати квадратура гетеродин, в якому вводиться додатковий канал, що дозволяє зберегти інформацію про несиметричність спектру (про негативну частоті відносно несучої) представляючи обвідна двома рівноцінними сигналами: вихідний сигнал стає комплексним. Отримати з такого сигналу вещественнний можна лише його перенесенням на несучу \ Omega_s> \ Delta \ omega \, , Інакше потрібно два канали передачі.

Приклад спотворення сигналу при перетворенні несучої звичайним гетеродином:

cos \ left (\ omega_s t + \ Delta \ omega t \ right) +2 cos \ left (\ omega_s t-\ Delta \ omega t \ right) \ xrightarrow {\ omega_s \ to0} 3cos \ left (\ Delta \ omega t \ right) \ xrightarrow {\ omega_0 \ to \ omega_s} 1.5cos \ left (\ omega_s t + \ Delta \ omega t \ right) +1.5 cos \ left (\ omega_s t-\ Delta \ omega t \ right)

Перетворення квадратурної гетеродином:

cos \ left (\ omega_s t + \ Delta \ omega t \ right) +2 cos \ left (\ omega_s t-\ Delta \ omega t \ right) \ xrightarrow {\ omega_s \ to0} 3cos \ left (\ Delta \ omega t \ right)-isin \ left (\ Delta \ omega t \ right) \ xrightarrow {\ omega_0 \ to \ omega_s} cos \ left (\ omega_s t + \ Delta \ omega t \ right) +2 cos \ left (\ omega_s t-\ Delta \ omega t \ right)

Для частотній області таким непредставімим поняттям є тимчасова асиметрія сигналів: лише симетричні сигнали мають некомплексний спектр.

Непарна симетрія синусоїди в часі, в частотній області представлена ​​зміною знака частоти: S (f) =-S (-f) \, , А значення косинуса не пов'язані зі знаком частоти.

Таким чином, поняття негативної частоти настільки ж виправдано, як і поняття негативного часу. Наочне уявлення обертового в різні боки вектора можна одержати на екрані осцилографа, подаючи синус на вертикальні, а косинус на горизонтальні пластини і змінюючи піввісь часу (знак синуса).


1. Синусоїда

Синус - це функція кутового аргументу, циклічно змінює свою амплітуду з постійним зростанням та убуванням "кута" ( фази). Поняття негативною частоти використовується для розрізнення зменшувати або збільшувати аргументу. Але синус немонотонний функція: \ Sin (\ omega t + \ frac {\ pi} {2} + \ theta) \, вже не зберігає знак \ Omega \, , Так само, як f (x) = x ^ 2 \, не зберігає знак x \, . Хоча \ Theta \, зазвичай відображає невідоме, випадковий зсув фази, у більшості випадків використання окремої взятої речовій синусоїди досить "припустити", що \ Omega \, позитивна.

Negative frequency.svg

Іноді два коливання однією частотою і відомої фазою різні, наприклад:

R (t) = \ cos (\ omega t + \ theta) \,

і

I (t) = \ cos (\ omega t + \ theta - \ begin {matrix} \ frac {\ pi} {2} \ end {matrix}) = \ sin (\ omega t + \ theta) \,

При \ Omega> 0 \, , R (t) \, випереджає I (t) \, на \ Begin {matrix} \ frac {1} {4} \ end {matrix} \, періоду ( = \ Begin {matrix} \ frac {\ pi} {2} \ end {matrix} \, радий). Але коли \ Omega <0 \, , Їх ролі міняються. Так в цьому випадку можливо відрізнити негативні і позитивні частоти: R (t) \, розглядається як реальна, а I (t) \, як уявна частина одного і того ж коливання. І \ Theta = 0 \, . Графік показує негативну частоту. Негативна частота (зменшення фази) може бути представлена ​​обертанням вектора комплексної амплітуди за годинниковою стрілкою.

Complex sinusoid 3D.svg

Параметричний графік такої залежності уявної частини від дійсної виглядає як окружність. Додавання виміру часу представляє рух точки по такій окружності у вигляді спіралі:


2. Комплексна синусоїда

Комплексна синусоїда

Комплексна функція: \ Cos (\ omega t) + j \ cdot \ sin (\ omega t) \, полегшує багато видів операцій з використанням \ Cos (\ omega t) \, , В значній мірі завдяки спрощенню Ейлера :

e ^ {j \ omega t} = \ cos (\ omega t) + j \ cdot \ sin (\ omega t) \,

Ця часто вживана запис називаються комплексної синусоїдою, і вона зберігає відмінність між позитивними і негативними \ Omega \, .

Перетворення Фур'є від e ^ {j \ omega t} \, - Ненульовий відгук на єдиній частоті \ Omega \, .

  • Перетворення від \ Cos (\ omega t) \, має відгуки на \ Omega \, і - \ Omega \, , Що відображає той факт, що одного \ Cos (\ omega t) \, недостатньо для визначення знака \ Omega \, .
    • Як, наприклад, \ Sqrt {4} це +2 або -2, конкретний результат залежить від супутньої інформації.
    • По-іншому, і дуже зручно, це показує наслідок з формули Ейлера, що містить обидві частоти: \ Cos (\ omega t) = \ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix} (e ^ {j \ omega t} + e ^ {-j \ omega t}) \, .

3. Дискретизація та аліасінг

Аліасінг дискретизувати синусоїд (косінусоід) ​​.

При дискретизації комплексної синусоїди з постійним інтервалом, її частота стає неотличима від деяких інших частот, у тому числі від негативної (т. зв. аліасінг). Окремі випадки цього ефекту показані на малюнку. Червона лінія показує 0 Hz (постійна величина). Послідовно зростаючі частоти відзначені помаранчевим, синім, пурпурним, фіолетовим, чорним. Деякі відліки відображають "R" і "I" однієї частоти, а інші "I" різних частот, які є "аліасами" (помилковими іменами) один одного.

Наприклад, у четвертому кадрі (пурпурні і зелені) показано збіг відліків уявної компоненти дробової частоти + \ Begin {matrix} \ frac {5} {8} \ end {matrix} і негативною частоти - \ Begin {matrix} \ frac {3} {8} \ end {matrix} . Іншими словами: e ^ {j2 \ pi \ left (+ \ begin {matrix} \ frac {5} {8} \ end {matrix} \ right) n} = e ^ {j2 \ pi \ left (- \ begin {matrix} \ frac {3} {8} \ end {matrix} \ right) n} \, для цілих n. Сигнали є всього лише уявними компонентами: e ^ {j 2 \ pi \ left (+ \ begin {matrix} \ frac {5} {8} \ end {matrix} \ right) F_s t} \, і e ^ {j 2 \ pi \ left (- \ begin {matrix} \ frac {3} {8} \ end {matrix} \ right) F_s t} \, , Де F_s \, - Частота дискретизації (samples / sec).

Аналогічно + \ Begin {matrix} \ frac {7} {8} \ end {matrix} невідмітно від - \ Begin {matrix} \ frac {1} {8} \ end {matrix} . А \ Begin {matrix} \ frac {8} {8} \ end {matrix} (Останній графік) відрізняються від \ Begin {matrix} \ frac {0} {8} \ end {matrix} (Перший графік).



4. Негативні частоти як узгоджений фільтр для позитивних

Рядки ДПФ матриці починаються з нульової частоти, спадною рядок за рядком при зміщенні вниз. Кожна з функцій цих рядків як узгоджений фільтр виявляє зростаючі позитивні частоти в розглянутому сигналі. Наприклад, верхній рядок ДПФ-матриці 8 порядку виявляє постійну складову сигналу, а наступна рядок, що є сигналом з дробової частотою -1 / 8, вимірює величину потужності при +1 / 8 дробової частоти в досліджуваному сигналі.


5. Негативні частоти в радарі Доплера

В радарі Доплера реєстрована різницева частота від об'єктів переміщаються до і від радара відрізняється знаком.