Нейтральний елемент

План:

1 Визначення
2 Зауваження
3 Приклади

Введення

Нейтральний елемент бінарної операції - елемент, який залишає будь-який інший елемент незмінним при застосуванні цієї бінарної операції до цих двох елементів.

1. Визначення

Нехай $(M, \ cdot)$ - безліч M з певною на ньому бінарної операцією $\ Cdot$ . Елемент $e \ in M$ називається нейтральним щодо $\ Cdot$ , Якщо

$x \ cdot e = e \ cdot x = x, \ quad \ forall x \ in M.$

Іноді розрізняють нейтральний зліва елемент $~ E_ {\ mathrm {l}}$ , Для якого

$e_ {\ mathrm {l}} \ cdot x = x, \ quad \ forall x \ in M,$

і нейтральний справа елемент $~ E_ {\ mathrm {r}}$ , Для якого

$x \ cdot e_ {\ mathrm {r}} = x, \ quad \ forall x \ in M.$

2. Зауваження

У загальному випадку нейтральний зліва і нейтральний справа елементи можуть не збігатися або ж не існувати.

У наведеній вище мультиплікативної нотації нейтральний елемент прийнято називати "одиничним елементом" або просто "одиницею". Якщо для позначення операції використовується адитивна нотація + , То нейтральний елемент називають "нулем" (не плутати з числами 1 і 0, відповідно).

3. Приклади

Безліч	Бінарна операція	Нейтральний елемент
Речові числа	+ ( складання)	число 0
Речові числа	$\ Cdot$	число 1
Речові числа	a ^b ( зведення в ступінь)	число 1 (нейтральний справа)
Матриці розміру $m \ times n$	+ (Матричне складання)	нульова матриця
Матриці розміру $n \ times n$	$\ Cdot$ (Матричне твір)	одинична матриця
Функції виду $f: M \ to M$	$\ Circ$ ( композиція функцій)	тотожне відображення
Функції виду $f: M \ to M$	* ( згортка)	δ ( дельта-функція)
Символьні рядки	конкатенація	порожній рядок
Розширена числова пряма	$\ Min \,$ ( мінімум) або inf ( інфімум)	$+ \ Infty$
Розширена числова пряма	$\ Max \,$ ( максимум) або sup ( Супремум)	$- \ Infty$
Підмножини безлічі M	$\ Cap \,$ (Перетин множин)	M
Безлічі	$\ Cup$ (Об'єднання множин)	$\ Varnothing$ ( пусте безліч)
Булева логіка	$\ Wedge$ ( логічне і)	$\ Top$ (Істина)
Булева логіка	$\ Lor$ (Логічне або)	$\ Bot$ (Неправда)