Нерівність Маркова

Нерівність Маркова в теорії ймовірностей дає оцінку ймовірності, що випадкова величина перевершить по модулю фіксовану позитивну константу, в термінах її математичного очікування. Одержувана оцінка зазвичай груба. Однак, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподілі, коли останнє не відомо явним чином.


1. Формулювання

Нехай випадкова величина X: \ Omega \ to \ mathbb {R +} визначена на імовірнісному просторі (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P}) , І її математичне сподівання \ Mathbb {E} X звичайно. Тоді

\ Mathbb {P} \ left (| X | \ geqslant a \ right) \ leqslant \ frac {\ mathbb {E} | X |} {a} ,

де a> 0 .

Якщо в нерівність підставити замість випадкової величини X випадкову величину X-\ mathbb {E} X , То отримаємо нерівність Чебишева :

\ Textrm {Pr} (| X-\ textrm {E} (X) | \ geq a) \ leq \ frac {\ textrm {Var} (X)} {a ^ 2}.

2. Приклад

Нехай X \ geqslant 0 - Ненегативна випадкова величина. Тоді, взявши a = 2 \ mathbb {E} X , Отримуємо

\ Mathbb {P} (X \ geqslant 2 \ mathbb {E} X) \ leqslant \ frac {1} {2} .

3. Приклад

В середньому учні спізнюються на 3 хвилини. Яка ймовірність того, що учень запізниться на 15 і більше хвилин? Дайте грубу оцінку зверху. Відповідь:

\ Mathbb {P} (| X | \ geqslant 15) \ leqslant 3/15 = 0.2 .