Обмежений оператор

Оператор A: X \ to Y називається обмеженим, якщо кожне обмежену безліч вихідного топологічного векторного простору X він переводить в обмежену безліч топологічного векторного простору Y . [1]

Наведене вище визначення відноситься як до лінійним, так і до нелінійних операторам.



Лінійний обмежений оператор

Визначення

Для лінійного оператора часто наводять інші визначення: [1]

  • Будемо називати лінійний оператор A: X \ to Y обмеженим, якщо існує така околиця нуля U , Що A (U) є обмеженим безліччю в Y .
  • Будемо називати лінійний оператор A: X \ to Y в нормованому просторі обмеженим, якщо існує таке додатне число C , Що \ | Ax \ | \ le C \ | x \ | . Найменше з таких чисел C позначають через \ | A \ | і називають нормою оператора A . Іншими словами,
\ | A \ | = \ sup_ {\ | x \ | <1} {\ | Ax \ |}

Властивості в F-просторах

Зауваження: Приватним випадком F-простору є простір Банаха.

Тому для додаткових властивостей таких операторів дивіться статтю Лінійний безперервний оператор.


Література

  1. 1 2 3 Математична енциклопедія / Виноградов І.М.. - М .: Сов.енциклопедія, 1977. - Т. 3.
  2. 1 2 Данфорд Н., Шварц Дж. Лінійні оператори. - М .: ІЛ, 1962. - Т. 1. Загальна теорія. - С. 66-67.