Ознака Абеля


1. Ознака Абеля збіжності невласних інтегралів

Ознака Абеля дає достатні умови збіжності невласного інтеграла.

Ознака Абеля для невласного інтеграла I-роду (для нескінченного проміжку). Нехай функції \ F (x) і \ G (x) визначені на проміжку \ [A, \ infty) . Тоді невласний інтеграл \ \ Int \ limits_ {a} ^ {\ infty} f (x) g (x) dx сходиться, якщо виконані наступні умови:

  1. Функція \ F (x) интегрируема \ [A, \ infty) .
  2. Функція \ G (x) обмежена і монотонна.

Ознака Абеля для невласного інтеграла II-роду (для функцій з кінцевим числом розривів). Нехай функції \ F (x) і \ G (x) визначені на проміжку \ (A, b] . Тоді невласний інтеграл \ \ Int \ limits_ {a} ^ {b} f (x) g (x) dx сходиться якщо виконані наступні умови:

  1. Функція \ F (x) интегрируема \ (A, b] тобто сходиться інтеграл \ \ Int \ limits_ {a} ^ {b} f (x) dx
  2. Функція \ G (x) обмежена і монотонна на \ (A, b] .



2. Ознака Абеля збіжності числових рядів

Ознака Абеля дає достатні умови умовної збіжності числового ряду.

Числовий ряд \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty {a_n} {b_n} сходиться, якщо виконані наступні умови:

  1. Послідовність \ A_n монотонна і обмежена.
  2. Числовий ряд \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty {b_n} сходиться.

3. Ознака Абеля збіжності функціональних рядів

Ознака Абеля дає достатні умови рівномірної збіжності функціонального ряду. Функціональний ряд

\ Sum_ {n = 0} ^ \ infty {{a_n} (x)} {{u_n} (x)} ,

де \ {A_n} (x): E \ mapsto \ mathbb {R}, {u_n} (x): E \ mapsto \ mathbb {C}, E \ subseteq \ mathbb {R} ^ d , Сходиться рівномірно на множині \ E , Якщо виконані наступні умови:

  1. Послідовність действітельнозначних функцій \ {A_n} (x)рівномірно обмежена на \ E і монотонна для будь-яких \ X з \ E .
  2. Функціональний ряд комплекснозначних функцій \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty {{u_n} (x)} рівномірно сходиться на \ E .