Оператор Д'Аламбера

Оператор Д'Аламбера (оператор Даламбера, хвильовий оператор, даламбертіан) - диференціальний оператор другого порядку

\ Square u \ equiv \ Delta u-\ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2u} {\ partial t ^ 2},

де \ Delta - оператор Лапласа, c - Постійна. Іноді оператор пишеться з протилежним знаком.

Має в декартових координатах вигляд:

\ Frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial z ^ 2} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2},

дозволяє пряме узагальнення на будь-яку кінцеву розмірність простору, як більше, так і менше трьох (таке узагальнення носить також назву оператора Д'Аламбера, з додаванням, якщо це не зрозуміло з контексту, " n -Мірний ").

Названий по імені Ж. Д'Аламбера (J. D'Alembert, 1747), який розглядав його найпростіший вид при вирішенні одновимірного хвильового рівняння.

Застосовується в електродинаміці, акустиці та інших завданнях поширення хвиль (переважно лінійних). Оператор Д'Аламбера (відповідної розмірності) входить в хвильове рівняння будь-якої розмірності, складаючи його основу, а також в рівняння Клейна - Гордона - Фока.

Неважко бачити, що оператор Д'Аламбера є узагальнення оператора Лапласа на випадок простору Мінковського.


Запис в криволінійних координатах

Оператор Д'Аламбера в сферичних координатах :

\ Frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial} {\ partial r} \ left (r ^ 2 \ frac {\ partial u} {\ partial r} \ right) + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin ^ 2 \ Theta} \ frac {\ partial} {\ partial \ Theta} \ left (\ sin \ Theta \ frac {\ partial u} {\ partial \ Theta} \ right) + \ frac {1} {r ^ 2 \ sin ^ 2 \ Theta} \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial \ varphi ^ 2} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2};

в циліндричних координатах :

\ Frac {1} {\ rho ^ 2} \ frac {\ partial} {\ partial \ rho} \ left (\ rho ^ 2 \ frac {\ partial z ^ 2} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2u} {\ partial t ^ 2};

в загальних криволінійних координатах (для простору-часу):

\ Square u \ equiv \ frac {1} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ nu} \ left (\ sqrt {-g} \, g ^ {\ mu \ nu } \ frac {\ partial u} {\ partial x ^ \ mu} \ right),

де g - визначник матриці \ | G_ {\ mu \ nu} \ | , Складений з коефіцієнтів метричного тензора g_ {\ mu \ nu} .