Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Орієнтація



План:


Введення

Орієнтація, в класичному випадку - вибір одного класу систем координат, пов'язаних між собою "позитивно" в деякому певному значенні. Кожна система задає орієнтації, визначаючи клас, до якого вона належить.

У елементарної математики орієнтація часто описується через поняття "напрями за і проти годинникової стрілки".

Орієнтація визначається тільки для деяких спеціальних класів просторів ( різноманіть, векторних розшарувань, комплексів Пуанкаре і т. д.). Сучасний погляд на орієнтацію дається в рамках узагальнених теорій когомологий.


1. Конечномерное векторний простір

У разі векторного простору кінцевої розмірності над полем дійсних чисел дві системи координат пов'язаними вважаються позитивно, якщо позитивний визначник матриці переходу від однієї з них до іншої.

1.1. Зауваження

Для загального поля визначення орієнтації становить труднощі. Наприклад, у комплексному просторі \ Mathbb C ^ n комплексний репер e 1, e 2,..., e n визначає речовинний репер e 1, e 2,..., e n, i e 1, i e 2,..., i e n в тому ж просторі, розглядається як \ R ^ {2n} , І всі такі репери пов'язані попарно позитивними переходами (інакше кажучи, комплексна структура задає орієнтацію в \ R ^ {2n} ).


2. Варіації і узагальнення

2.1. Афінний простір

На прямій, площині і взагалі в матеріальному афінному просторі A системи координат складаються з точки (початку O ) І репера {E i} , Перехід визначається вектором перенесення початку і заміною репера. Цей перехід позитивний, якщо позитивний визначник матриці заміни (наприклад, при парному перестановці векторів репера).

Дві системи координат визначають одну і ту ж орієнтацію, якщо одну з них можна перевести в іншу безперервно, тобто існує безперервно залежне від параметра t \ in [0, 1] сімейство координатних систем O (t) , {E i (t)} , Що зв'язує дані системи O , {E i} і O ' , {E 'i} .

При відображенні в гіперплощини системи двох класів переходять один в одного.

Орієнтація може бути задана порядком вершин n -Мірного симплекса ( трикутника в двовимірному випадку, тетраедра в тривимірному), Репер визначається умовою: в першу вершину поміщається початок, в інші з першої направляються вектори репера. Два порядку задають одну орієнтацію, якщо і тільки якщо вони відрізняються на парну перестановку. Симплекс з фіксованим з точністю до парної перестановки порядком вершин називається орієнтованим. Кожна (N - 1) -Грань орієнтованого симплекса отримує індуковану орієнтацію: якщо перша вершина не належить грані, то порядок інших приймається для неї за позитивний.


2.2. Різноманіття

У зв'язному різноманітті M системою координат служить атлас - набір карт, що покривають M . Атлас називається ориентирующим, якщо координатні перетворення все позитивні. Це означає, що їх ступеня рівні + 1 , А в разі дифференцируемого різноманіття позитивні якобіан перетворення у всіх точках. Якщо орієнтує атлас існує, то різноманіття M називається орієнтується. У цьому випадку все орієнтують атласи розпадаються на два класи, так що перехід від карт одного атласу до карт іншого позитивний, якщо і тільки якщо атласи належать одному класу. Вибір такого класу називається орієнтацією різноманіття. Цей вибір може бути зроблений вказівкою однієї карти або локальної орієнтації в точці. У разі дифференцируемого різноманіття локальну орієнтацію можна задати зазначенням репера в дотичної площини в точці. Якщо M має край і орієнтоване, то край також орієнтуємо, наприклад за правилом: у точці краї береться репер, орієнтує M , Перший вектор якого спрямований з M , А решта вектори лежать в дотичній площини краї, ці останні і приймаються за орієнтує репер краю.


2.2.1. Дезорієнтуючий контур

Дезорієнтуючий контур - замкнута крива в різноманітті, що володіє тим властивістю, що при її обході локальна орієнтація змінює знак.

Дезорієнтуючий контур є тільки в неоріентіруемом різноманітті M , Причому однозначно визначено гомоморфізм фундаментальної групи π 1 (M) на \ Mathbb Z_2 з ядром, що складається з класів петель, які не є дезорієнтує.

Уздовж будь-якого шляху q: [0, 1] \ to M можна вибрати ланцюжок карт так, що дві сусідні карти пов'язані позитивно. Тим самим орієнтація в точці q (0) визначає орієнтацію в точці q (1) , І цей зв'язок залежить від шляху q лише з точністю до його безперервної деформації при фіксованих кінцях. Якщо q - Петля, тобто q (0) = q (1) = x 0 , То q називається дезорієнтує контуром, якщо ці орієнтації протилежні. Виникає гомоморфізм фундаментальної групи π 1 (M, x 0) в групу порядку 2 : Дезорієнтують петлі переходять в - 1 , А інші в + 1 . За цим гомоморфізм будується накриття, що є дволиста у разі неоріентіруемого різноманіття. Воно називається ориентирующим (так як накриває простір буде орієнтується). Цей же гомоморфізм визначає над M одномірне розшарування, тривіальне, якщо і тільки якщо M ориентируемое. Для дифференцируемого M воно може бути визначене як розшарування Ω n (M) диференціальних форм порядку n = \ operatorname {dim} M . Ненульове перетин в ньому існує лише в ориентируемой випадку і задає форму обсягу на M і одночасно ориентацию.


2.2.2. Мовою гомологий

Орієнтація може бути визначена на гомологическом мовою : для зв'язкового ориентируемого різноманіття без краю група гомологий H ^ n (M, \ Z) (Із замкнутими носіями) ізоморфна \ Z , І вибір однієї з двох утворюючих задає орієнтацію - відбираються карти з позитивними мірами відбиття. Для зв'язкового різноманіття з краєм то ж вірно і для H ^ n (M, \ partial M, \ Z) . У першому випадку ориентируемого є гомотопічних інваріант M, а в другому - пари (M, \ partial M) . Так, лист Мебіуса і кільце мають один і той же абсолютний гомотопічних тип, але різний - щодо краю.

Локальна орієнтація різноманіття також може бути задана вибором утворює в групі H ^ n (M, M \ backslash x_0, \ Z) , Ізоморфної \ Z Відповідний інтерпретація орієнтації дозволяє перенести це поняття на узагальнені гомологічні різноманіття.


2.3. Псевдомногообразія

Тріангулірованное різноманіття M (Або псевдомногообразіе) ориентируемое, якщо можна орієнтувати всі n -Мірні симплекс так, що два симплекса із загальною (N - 1) -Мірної гранню індукують на ній протилежні орієнтації. Замкнута ланцюжок n -Мірних симплекс, кожні два сусіди в якій мають загальну (N - 1) -Грань, називається дезориентирующей, якщо ці симплекс можуть бути орієнтовані так, що перший і останній симплекс індукують на загальній межі збігаються орієнтації, а інші сусіди - протилежні.


2.4. Розшарування

Нехай над простором B задано розшарування p: E \ to B зі стандартним шаром F . Якщо орієнтацію всіх шарів можна вибрати так, що будь-яке (власне) відображення, певне шляхом у B однозначно з точністю до власної гомотопий, зберігає орієнтацію, то розшарування називається орієнтованим, а зазначений вибір орієнтації шарів - орієнтацією розшарування. Наприклад, лист Мебіуса, що розглядається як векторне розшарування над колом, не має орієнтацією, в той час як бокова поверхня циліндра - володіє.


2.5. Безконечномірні простору

Поняття орієнтації допускає природне узагальнення і для випадку нескінченновимірного різноманіття, модельованого за допомогою нескінченновимірного банахових або топологічного векторного простору. При цьому необхідні обмеження на лінійні оператори, які є диференціалами функцій переходу від карти до карти: вони повинні не просто належати загальної лінійної групі всіх ізоморфізмом моделює простору, яка гомотопічних тривіальна (у рівномірній топології) для більшості класичних векторних просторів, а міститися в деякій лінійно незв'язною підгрупі загальної лінійної групи. Тоді компонента связности даної підгрупи і буде ставити "знак" орієнтації. У ролі такої підгрупи зазвичай вибирається фредгольмового група, що складається з тих ізоморфізмом моделює простору, для яких різниця з тотожним изоморфизмом є цілком безперервний оператор.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Егодістоніческая статева орієнтація
© Усі права захищені
написати до нас