Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Параболічні координати



План:


Введення

Параболічні координати - ортогональна система координат на площині, в якій координатні лінії є конфокальні параболами. Тривимірний варіант цієї системи координат виходить при обертанні парабол навколо їх осі симетрії.

Параболічні координати знайшли численні застосування в математичній фізиці, зокрема, в теорії ефекту Штарка і завданню про потенціал поблизу кута.


1. Двовимірні параболічні координати

Parabolic coords.svg

Двовимірні параболічні координати (\ Sigma, \; \ tau) визначаються виразами

x = στ,
y = \ frac {1} {2} (\ tau ^ 2 - \ sigma ^ 2).

Поверхні постійної σ є конфокальні параболами

2y = \ frac {x ^ 2} {\ sigma ^ 2} - \ sigma ^ 2

розширюються вгору (вздовж променя + Y ), А поверхні постійної τ - Це конфокальні параболи

2y =- \ frac {x ^ 2} {\ tau ^ 2} + \ tau ^ 2

розширюються вниз (вздовж променя - Y ). Фокуси всіх парабол розташовані на початку коорднат.


2. Диференціальні характеристики двовимірних координат

Коефіцієнти Ламе для параболічних координат дорівнюють

H_ \ sigma = H_ \ tau = \ sqrt {\ sigma ^ 2 + \ tau ^ 2}.

Таким чином, елемент площі дорівнює

dS = (\ sigma ^ 2 + \ tau ^ 2) \, d \ sigma \, d \ tau,

а лапласіан дорівнює

Інші диференціальні оператори можуть бути аналогічно знайдені підстановкою коефіцієнтів Ламе у відповідну загальну формулу.


3. Тривимірні параболічні координати

Координатні поверхні для тривимірних параболічних координат. Червоний параболоїд відповідає \ Scriptstyle {\ tau = 2} , Синій параболоїд відповідає \ Scriptstyle {\ sigma = 1} , А жовта полуплоскость відповідає \ Scriptstyle {\ varphi =- 60 ^ \ circ} . Три поверхні перетинаються в точці \ Scriptstyle {P} (Зазначеної чорної сферою), що має декартові координати приблизно \ Scriptstyle {(1 {,} 0, \; -1 {,} 732, \; 1 {,} 5)} .

На основі двовимірних параболічних координат будуються два типи тривимірних координат. Перші виходять простим проектуванням на площину X Y вздовж осі z і називаються циліндричні параболічні координати.

Друга система координат, також звана "параболічні координати", будується на основі параболоїдів обертання, одержуваних обертанням парабол навколо їх осі симетрії

\ Begin {cases} x = \ sigma \ tau \ cos \ varphi, \ \ y = \ sigma \ tau \ sin \ varphi, \ \ z = \ dfrac {1} {2} (\ tau ^ 2 - \ sigma ^ 2). \ End {cases}

Вісь параболоїдів збігається з віссю z , Так як навколо неї здійснюється обертання. Азимутальний кут \ Varphi визначається як

\ Mathrm {tg} \, \ varphi = \ frac {y} {x}.

Поверхні постійної σ є конфокальні параболоїда

2z = \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {\ sigma ^ 2} - \ sigma ^ 2

спрямованими вгору (вздовж променя + Z ), А поверхні постійної τ - Це конфокальні параболоїди

2z =- \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {\ tau ^ 2} + \ tau ^ 2

спрямовані вниз (вздовж променя - Z ). Фокуси всіх параболоїдів розташовані на початку координат.


4. Диференціальні характеристики тривимірних координат

Коефіцієнти Ламе в тривимірному випадку:

H_ \ sigma = \ sqrt {\ sigma ^ 2 + \ tau ^ 2},
H_ \ tau = \ sqrt {\ sigma ^ 2 + \ tau ^ 2},
H φ = στ.

Як видно, коефіцієнти H σ і H τ збігаються з двовимірним випадком. Елемент об'єму дорівнює

dV = h_ \ sigma h_ \ tau h_ \ varphi = \ sigma \ tau (\ sigma ^ 2 + \ tau ^ 2) \, d \ sigma \, d \ tau \, d \ varphi,

а лапласіан дорівнює

Інші диференціальні оператори, такі як дивергенція або ротор можуть бути аналогічно знайдені підстановкою коефіцієнтів Ламе у відповідну загальну формулу.


5. Зворотні перетворення

Перехід від декартових координат (X, \; y, \; z) до параболічних (\ Eta, \; \ xi, \; \ varphi) здійснюється за формулами:

\ Begin {cases} \ eta =- z + \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}, \ \ \ xi = z + \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}, \ \ \ varphi = \ mathrm {arctg} \ dfrac {y} {x}, \ end {cases}

при цьому \ Eta \ geqslant 0, \ quad \ xi \ geqslant 0.

\ Begin {vmatrix} d \ eta \ \ d \ xi \ \ d \ varphi \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ dfrac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} } & \ dfrac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & -1 + \ dfrac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} \ \ \ dfrac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & \ dfrac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & 1 + \ dfrac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} \ \ \ dfrac {-y} {x ^ 2 + y ^ 2} & \ dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & 0 \ end {vmatrix} \ cdot \ begin {vmatrix} dx \ \ dy \ \ dz \ end {vmatrix}.

При φ = 0 отримуємо обмеження координат на площину X Z :

\ Eta =- z + \ sqrt {x ^ 2 + z ^ 2},
\ Xi = z + \ sqrt {x ^ 2 + z ^ 2}.

Лінія рівня η = c :

z | _ {\ eta = c} = \ frac {x ^ 2} {2c} - \ frac {c} {2}.

Це парабола, фокус якої при будь-якому c розташований на початку координат.

Аналогічно при ξ = c отримуємо

z | _ {\ xi = c} = \ frac {c} {2} - \ frac {x ^ 2} {2c}.

Координатні параболи перетинаються в точці

P: \ left (\ sqrt {bc}, \; \ frac {b-c} {2} \ right).

Пара парабол перетинається в двох точках, але при φ = 0 точка виявляється укладена у півплощині x> 0 , Так як x <0 відповідає φ = π .

Знайдемо коефіцієнти нахили дотичних до парабола в точці P :

\ Frac {dz_c} {dx} = \ frac {x} {c} = \ frac {\ sqrt {bc}} {c} = \ sqrt {\ frac {b} {c}} = s_c,
\ Frac {dz_b} {dx} =- \ frac {x} {b} = \ frac {- \ sqrt {bc}} {b} =- \ sqrt {\ frac {c} {b}} = s_b;
s_c s_b =- \ sqrt {\ frac {b} {c}} \ sqrt {\ frac {c} {b}} =- 1.

Так як добуток коефіцієнтів дорівнює -1, то параболи перпендикулярні в точці перетину. Таким чином, параболічні координати виявляються ортогональними.

Пара (\ Xi; \; \ eta) визначає координати в напівплощини. При зміні \ Varphi від 0 до полуплоскость обертається навколо осі z , В якості координатних поверхонь получются параболоїди обертання і півплощини. Пара протилежних параболоїдів визначає коло, а величина \ Varphi визначає полуплоскость, що перетинає коло в єдиній точці. Її декартові координати рівні:

\ Begin {cases} x = \ sqrt {\ xi \ eta} \ cos \ varphi, \ \ y = \ sqrt {\ xi \ eta} \ sin \ varphi, \ \ z = \ dfrac {1} {2} ( \ xi-\ eta). \ End {cases}
\ Begin {vmatrix} dx \ \ dy \ \ dz \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} \ dfrac {1} {2} \ sqrt {\ dfrac {\ xi} {\ eta}} \ cos \ varphi & \ dfrac {1} {2} \ sqrt {\ dfrac {\ eta} {\ xi}} \ cos \ varphi & - \ sqrt {\ xi \ eta} \ sin \ varphi \ \ \ dfrac {1} {2} \ sqrt {\ dfrac {\ xi} {\ eta}} \ sin \ varphi & \ dfrac {1} {2} \ sqrt {\ dfrac {\ eta} {\ xi}} \ sin \ varphi & \ sqrt {\ xi \ eta} \ cos \ varphi \ \ - \ dfrac {1} {2} & \ dfrac {1} {2} & 0 \ end {vmatrix} \ cdot \ begin {vmatrix} d \ eta \ \ d \ xi \ \ d \ varphi \ end {vmatrix}.

6. Зовнішні посилання

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (Англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Системи координат
Назва координат Абсциса Ордината Аппликата
Типи систем координат Прямолінійна система координат Криволінійна система координат
Двовимірні координати Біангулярние координати Біцентріческіе координати Полярні координати Біполярні координати Параболічні координати Тетрациклічні координати Еліптичні координати
Тривимірні координати Циліндричні координати Сферичні координати Бісферіческіе координати Тороїдальні координати Циліндричні параболічні координати Біціліндріческіе координати Трилинейная координати Еліпсоїдальної координати Конічні координати Пентасферіческіе координати
n -Мірні координати Декартові координати Аффінниє координати Проективні координати Плюккерови координати Баріцентріческіе координати
Фізичні координати Координати Ріндлера Координати Борна Система небесних координат Географічні координати Главноортодроміческая система координат
Пов'язані визначення Метод координат Початок координат Координатна вісь Вектор Орт Система відліку Репер Метричний тензор

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Циліндричні параболічні координати
Координати
Координати
Тетрациклічні координати
Координати Борна
Географічні координати
Трилинейная координати
Проективні координати
Еліптичні координати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru