Повна похідна функції - похідна функції за часом уздовж траєкторії.

Розрахунок повної похідної функції f = f (t, x (t), y (t)) за часом t, \ Frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t} (На відміну від приватної похідної, \ Frac {\ partial f} {\ partial t} ) Не має на увазі, що інші аргументи (тобто інші ніж аргумент, t, за яким ведеться повне диференціювання: x і y) постійні при змінюваному t. Повна похідна включає в себе ці непрямі залежно від t (тобто x (t) і y (t)) для опису залежності f від t.


1. Приклад № 1

Наприклад, для згаданої функції f = f (t, x (t), y (t)) повна похідна функції обчислюється за наступним правилом :

\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} f (t_0, x (t_0), y (t_0)) = \ left. \ Frac {\ partial f} {\ partial t} \ right | _ {t_0, x (t_0), y (t_0)} \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} t} + \ left. \ Frac {\ partial f} {\ partial x} \ right | _ {t_0, x (t_0), y (t_0)} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + \ left . \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ right | _ {t_0, x (t_0), y (t_0)} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t},

що спрощується до

\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} f (t, x (t), y (t)) = \ frac {\ partial f} {\ partial t} + \ frac {\ partial f} {\ partial x} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + \ frac {\ partial f} {\ partial y} \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t},

де \ Frac {\ partial f} {\ partial t}, \ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y} - приватні похідні.

Слід зазначити, що позначення \ Frac {df} {dt} є умовним і не означає ділення диференціалів. Крім того, повна похідна функції залежить не тільки від самої функції, але і від траєкторії.


2. Приклад № 2

Наприклад, повна похідна функції f (x (t), y (t)) :

{Df \ over dt} = {\ partial f \ over \ partial x} {dx \ over dt} + {\ partial f \ over \ partial y} {dy \ over dt}

Тут немає {\ Partial f \ over \ partial t} так як f сама по собі ("явно") не залежить від t .

3. Додатки