Повне простір - метричний простір, в якому кожна фундаментальна послідовність сходиться (до елементу цього ж простору).

У більшості випадків, розглядають саме повні метричні простори. Для неповних просторів існує операція поповнення, що дає можливість розглядати початковий простір як щільне безліч у своєму поповненні. Операція поповнення в чому аналогічна операції замикання для підмножин.


1. Поповнення

Усяке метричний простір X = (X, \ rho) можна вкласти в повне простір Y таким чином, що метрика Y продовжує метрику X , А підпростір Xвсюди щільно в Y . Такий простір Y називається поповненням X і зазвичай позначається \ Bar X .


1.1. Побудова

Для метричного простору X = (X, \ rho) , На безлічі фундаментальних послідовностей в X можна ввести відношення еквівалентності

(X_n) \ sim (y_n) \ Leftrightarrow \ lim \ rho (x_ {n}, y_n) = 0.

Безліч класів еквівалентності \ Bar X з метрикою, визначеної

\ Bar \ rho ((x_n), (y_n)) = \ lim \ rho (x_ {n}, y_n),

є метричним простором. Саме простір (X, \ rho) изометрически вкладається в нього таким чином: точці x \ in X відповідає клас постійної послідовності x_n = x . Вийшло простір (\ Bar X, \ bar \ rho) і буде поповненням X .


2. Властивості

  • Поповнення метричного простору єдино, з точністю до ізометрії.
  • Поповнення метричного M простору ізометрічни замикання образу при вкладенні Куратовского
  • Повнота успадковується замкнутими підмножинами повного метричного простору.
  • Повні метричні простори є просторами другої категорії Бера. Тобто якщо повне простір вичерпується рахунковим об'єднанням замкнутих множин, то хоча б в одного з них є внутрішні точки.
  • Критерій компактності метричного простору: метричний простір компактно тоді і тільки тоді, коли воно повно і цілком обмежене.
  • Теорема Банаха про нерухому точку. Стискаючі відображення повного метричного простору в себе мають нерухому точку.

3. Приклади

3.1. Повні простору

  • \ Mathbb {R} - Приклад повного числового метричного простору, в сенсі стандартної метрики, введеної на безлічі речових (дійсних чисел). Критерій повноти метричного простору в разі \ Mathbb {R} носить особливу назву.
  • Взагалі, будь конечномерное евклідів або унітарна простір повно.
  • Будь банаховому просторі, зокрема Гільбертів простір, повно по визначенню.
  1. Зокрема, повним є банаховому просторі неперервних на відрізку функцій з рівномірною метрикою.

3.2. Неповні простору

  • Раціональні числа \ Mathbb {Q} зі стандартним відстанню d (x, y) = | x-y | є неповним метричного простором. Результатом поповнення цього простору буде безліч всіх дійсних чисел \ Mathbb {R} .
  • Також, раціональні числа можуть бути забезпечені p-адіческім нормуванням, поповнення по якому призводить до полю p-адіческіх чисел \ Mathbb Q_p .
  • Простір інтегрувальних (за Ріманом) на відрізку функцій. Результатом поповнення цього простору буде простір інтегрувальних за Лебегом функцій, заданих на тому ж відрізку.

4. Варіації і узагальнення

  • Якщо X має алгебраїчну структуру, узгоджену з метрикою, наприклад топологічного кільця, то ця структура природним чином переноситься і на його поповнення.

Література

  • Зорич В.А. "Математичний аналіз", т.2, гл.IX, 5.