Полюс (комплексний аналіз)

Модуль Гамма-функції Γ (z) . Зліва (Re z <0) у функції є полюси, в них вона прагне до нескінченності. Справа (Re z> 0) полюсів немає, функція всюди кінцева.

Ізольована особлива точка z ₀ називається полюсом f (z) , Якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколеної околиці точки z ₀ головна частина містить кінцеве число відмінних від нуля членів, тобто

$f (z) = \ sum_ {k =- \ infty} ^ {\ infty} {f_k} (z-z_0) ^ k =$ $= P (z) + f_ {-n} (z-z_0) ^ {-n} + \ ldots + f_ {-1} (z-z_0) ^ {-1}$ , Де P (z) - правильна частина ряду Лорана.

Якщо $f_ {-n} \ ne \ 0$ , То z ₀ називається полюсом порядку n . Якщо n = 1 , То полюс називається простим.

Критерії визначення полюса

Точка z ₀ є полюсом тоді, і тільки тоді, коли $\ Lim_ {z \ to {z_0}} f (z) = \ infty$ .
Точка z ₀ є полюсом порядку k тоді і тільки тоді, коли $\ Lim_ {z \ to {z_0}} f (z) (z-z_0) ^ {k-1} = \ infty$ , А $\ Lim_ {z \ to {z_0}} f (z) (z-z_0) ^ k \ ne \ infty$
Точка z ₀ є полюсом порядку k тоді і тільки тоді, коли вона є для функції $F (z) = \ frac {1} {f (z)}$ нулем порядку k

Інші типи ізольованих особливих точок: