Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Порядок Шарковський



Порядок Шарковський - упорядкування натуральних чисел, пов'язане з дослідженням періодичних точок динамічних систем на відрізку або на речовій прямий. А саме, скажемо, що a \ to b , Якщо динамічна система на відрізку або прямої, що має точку найменшого періоду a, має і точку найменшого періоду b. Теорема Шарковський стверджує, що таким чином задається повний порядок на множині натуральних чисел, влаштований таким чином:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → ...
→ 3 * 2 → 5 * 2 → 7 * 2 → 9 * 2 → 11 * 2 → 13 * 2 → ...
→ 3 * 2 → 5 * 2 → 7 * 2 → 9 * 2 → 11 * 2 → 13 * 2 → ...
.......................................
→ 2 n → 2 n-1 → ... → 2 52 квітня → 2 → 2 → 2 → 1.

У верхньому рядку виписані в порядку зростання всі непарні числа, крім 1, у другому рядку - твори непарних чисел (крім 1) на 2, у третій - твори непарних чисел на 2 , в k-му рядку зверху - твори непарних чисел на 2 ^ {k-1} . Нарешті, в останній (нижній) рядку представлені чисті ступеня двійки.

Зокрема, число 3 - найбільшу в сенсі цього впорядкування, тому наявність точки періоду 3 тягне за собою наявність точки з будь-яким періодом. Часто цей окремий випадок скорочено формулюють як період 3 тягне хаос (варто відзначити, що в разі наявності точки періоду 3 можна стверджувати "хаотичність" системи і в інших сенсах, - так, її ентропія буде позитивна).


Період 3 тягне хаос

Випадок періодичної точки періоду 3 - найбільш змістовний. У цьому випадку, знайдуться різні точки a, b, c , Для яких

f (a) = b, \ quad f (b) = c, \ quad f (c) = a.

Можна без обмеження спільності вважати, що a <b <c .

Тоді для відрізків I_0 = [a, b] і I_1 = [b, c] виконано

f (I_0) \ supset I_1, \ quad f (I_1) \ supset I_0 \ cup I_1.

Звідси нескладно вивести, що для будь-якого кінцевого слова w = w_0 w_1 \ dots w_ {k-1} , Складеного з нулів і одиниць і не містить двох нулів підряд, знайдеться такий інтервал I_w , Що

f ^ j (I_w) \ subset I_ {w_j}, \ quad j = 1, \ dots, k-2,
f ^ {k-1} (I_w) = I_ {w_ {k-1}}.

Звідси вже нескладно побудувати періодичну точку будь-якого періоду k : Достатньо взяти в алфавіті з нулів і одиниць будь-яке періодичне слово \ Omega = (w), \ quad | w | = k найменшого періоду k без двох нулів підряд. Для відповідного йому відрізка I_w виконано

f ^ {k} (I_w) \ supset I_w,

тому в цьому відрізку знайдеться періодична точка відповідного періоду. Нарешті, в термінах символічної динаміки (для розбиття I_0 , I_1 , Додаток) її доля це послідовність \ Omega , У якій k є найменшим періодом, тому k є найменшим періодом і для побудованої точки.



Історія

Досліджуючи унімодальне відображення, зокрема, квадратичне відображення, український математик А. Н. Шарковський в 1964 виявив, що в області "хаосу" на відповідній біфуркаційних діаграмі є так звані "вікна періодичності" - вузькі інтервали значень параметра r \, (Див. квадратичне відображення), в яких існують періодичні руху; їм і відповідають переходи в порядку Шарковський. Зокрема, рухаючись в нижньому рядку проти напрямку стрілок від 1, ми проходимо каскад подвоєнь періодів Фейгенбаума.


Література

  • А. Н. Шарковський, С. Ф. Коляда, А. Г. Співак, В. В. Федоренко. Динаміка одновимірних відображень. Київ: Наукова думка, 1989. 216 с.
  • Ю. А. Данилов. Лекції з нелінійної динаміці. Елементарне введення. Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Порядок
Порядок (фізика)
Порядок байтів
Порядок величини
Лексикографічний порядок
Порядок росту
Болетовие (порядок)
Реформи і порядок
Громадський порядок
© Усі права захищені
написати до нас