Порядок величини

Порядок величини - клас еквівалентності \ Mathcal {C} _n величин (або шкал) \ Mathcal {C} _n = \ lbrace {} x_n \ rbrace , Що виражають деякі кількості, в рамках якого всі величини мають фіксоване відношення r = \ frac {x_n} {x_ {n-1}} до відповідних величинам попереднього класу.

Найчастіше під порядком увазі не сам клас еквівалентності \ Mathcal {C} _n а деяку його числову характеристику, задаючу цей клас за даних умов (наприклад, порядковий номер класу n за умови що певний клас \ Mathcal {C} _0 був заданий або мається на увазі).


1. Порядок числа

При роботі з числами, представленими в деякій системі числення за основою b , Найчастіше приймають r = b і 1 \ in \ mathcal {C} _1 , b \ in \ mathcal {C} _2 . При цьому n збігається з кількістю цифр в числі, якщо його записати в позиційної системі числення.

Наприклад для десяткової системи числення в цьому випадку кожна декада позитивних чисел буде належати тільки одному порядком:

  • \ Mathcal {C} _1 \ supset \ lbrace {} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \ rbrace
  • \ Mathcal {C} _2 \ supset \ lbrace {} 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 \ rbrace
  • \ Mathcal {C} _3 \ supset \ lbrace {} 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 \ rbrace

Аналогічним чином можна визначити порядки чисел і для інших підстав системи числення. Частіше за інших розглядають

  • порядки чисел за основою b = 10 ,
  • порядки чисел за основою b = 2 і
  • порядки чисел за основою b = e .

1.1. Порядок чисел в природній мові

У природних мовах зустрічаються вислови на кшталт "на порядок більше", "на багато порядків більше", "на пару порядків менше". У більшості випадків маються на увазі десяткові порядки, тобто ці вирази можна прочитати як "приблизно в десять разів більше", "приблизно у 10 ^ n разів більше, де n - Досить велика "," приблизно в 100 разів менше ".

2. Порядок чисел і логарифмічна функція

Відповідні числа, що належать суміжним порядкам \ Mathcal {C} _ {n}, \ mathcal {C} _ {n +1}, \ mathcal {C} _ {n +2}, \ ldots, \ mathcal {C} _ {n + d} можуть бути записані як x, rx, r ^ 2x, \ ldots, r ^ rx , Де x \ in \ mathcal {C} _ {n} - Перше з чисел. Ця властивість визначає зв'язок поняття порядку числа з показовою і зворотної до неї логарифмічної функцією.

Зокрема за допомогою поняття логарифмічної функції може бути сформульовано необхідна умова приналежності чисел до одного порядку: Нехай на множині додатних чисел задано якесь розбиття на порядки. Якщо два числа належать одному порядком, то \ Left | \ log_r \ frac {x_1} {x_2} \ right | <1 .

Доказ

Дійсно, нехай числа m \ in \ mathcal {C} _n і M \ in \ mathcal {C} _n є мінімальним і максимальним числом, що належить порядком \ Mathcal {C} _n . Якщо число x \ in \ mathcal {C} _n так само належить порядком \ Mathcal {C} _n , То його значення повинно задовольняти умові m \ leq x \ leq M . У той же час числа rm і \ Frac {1} {r} M належать суміжним з порядком \ Mathcal {C} _n порядкам \ Mathcal {C} _ {n +1} і \ Mathcal {C} _ {n-1} відповідно. З цього випливає, що для будь-якого числа x в даному порядку виконується співвідношення \ Frac {1} {r} M <m \ leq x \ leq M <rm .

Нехай два числа x_1 і x_2 належать даному порядком \ Mathcal {C} _n . Тоді -1 = \ Log_r \ frac {m} {rm} <\ log_r \ frac {x_1} {x_2} <\ log_r \ frac {M} {\ frac {1} {r} M} = 1 .


2.1. Різниця порядків

Якщо два числа x_1 і x_2 належать порядкам x_1 \ in \ mathcal {C} _ {n_1} і x_2 \ in \ mathcal {C} _ {n_2} в деякому розбитті позитивних чисел на порядки, то значення d = d (x_1, x_2) = n_2-n_1 іноді називають різницею порядків цих цих чисел.

Для двох чисел x_1 і x_2 різниця їх порядків може бути знайдена як d = \ left \ lfloor \ log_r \ frac {x_2} {x_1} \ right \ rfloor при x_2 \ geq x_1 .

Доказ

Виберемо число x_2 ^ \ mathord {*} \ in \ mathcal {C} _ {n_1} приналежне порядком \ Mathcal {C} _ {n_1} і відповідне числу x_2 з порядку \ Mathcal {C} _ {n_2} . За визначенням порядку існує таке ціле d , Що x_2 ^ \ mathord {*} = r ^ {-d} x_2 . Отримуємо, що \ Log_r \ frac {x_2} {x_1} = \ log_r \ frac {r ^ dx_2 ^ \ mathord {*}} {x_1} = d + \ log_r \ frac {x_2 ^ \ mathord {*}} {x_1} .

Числа x_1 і x_2 ^ \ mathord {*} належать одному порядком і тому \ Log_r \ frac {x_2 ^ \ mathord {*}} {x_1} <1 . У той же час число d є цілим, а значить d = \ left \ lfloor {} d \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {} d + \ log_r \ frac {x_2 ^ \ mathord {*}} {x_1} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ log_r \ frac {x_2} {x_1} \ right \ rfloor .

У випадку x_2 \ leq x_1 різниця порядків іноді беруть з негативним знаком d (x_1, x_2) =-d (x_2, x_1) .

Рівність різниці порядків нулю є необхідною і достатньою умовою того, що числа належать до одного порядку.


2.2. Узагальнення різниці порядків

Іноді поняття різниці порядків узагальнюють, знімаючи вимога належності до класу цілих чисел і визначаючи її через вираз d = \ log_r \ frac {x_2} {x_1} .

У такій інтерпретації сенсу набувають вислови на кшталт "числа x_1 і x_2 розрізняються не більше ніж на пів порядку "тобто \ Left | \ log_r \ frac {x_2} {x_1} \ right | \ leq \ frac {1} {2} або \ Frac {1} {\ sqrt {r}} x_1 \ leq x_2 \ leq \ sqrt {r} x_1 .