Похідна Пеано - одне з узагальнень поняття похідної.

Нехай має місце рівність

f (x) = a_0 + a_1 (x-x_0) + \ cdots + \ frac {a_r} {r!} (x-x_0) ^ r + \ gamma (x) (x-x_0) ^ r

де a_0, a_1, \ dots, a_r - Постійні і \ Gamma (x) \ to 0 при x \ to x_0 і \ Gamma (x_0) = 0 . Тоді число a_r називається узагальненою похідною Пеано порядку r функції f в точці x_0 .

Позначення: f_ {(r)} (x_0) = a_r , Зокрема f_ {(0)} (x_0) = f (x_0) , f_ {(1)} (x_0) = f '(x_0) .


Властивості

  • Якщо існує f ^ {(r)} (x_0) , То існує і f_ {(k)} (x_0) для k \ le r .
  • Якщо існує кінцева звичайна двостороння похідна f ^ {(r)} (x_0) , То f_ {(r)} (x_0) = f ^ {(r)} (x_0) . Зворотне невірно при r> 1 : Для функції f (x) = x ^ nD (x) , Де D - функція Дирихле всі f_ {(r)} (0) = 0 для r <n тоді як f ^ {(r)} (0) не визначена для всіх r> 1 .