Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Похідна за напрямом



В математичному аналізі, похідна за напрямком - це узагальнення поняття похідної на випадок функції кількох змінних. Похідна за напрямом показує, наскільки швидко функція змінюється при русі вздовж заданого напряму.

Похідна функції однієї змінної показує, як змінюється її значення при малій зміні аргументу. Якщо ми спробуємо за аналогією визначити похідну функції багатьох змінних, то зіткнемося з труднощами: у цьому випадку зміна аргументу (тобто точки в просторі) може відбуватися в різних напрямках, і при цьому будуть виходити різні значення похідної. Саме це міркування і призводить до визначення похідної за напрямом.

Розглянемо функцію f (x_1, \; \ ldots, \; x_n) від n ~ аргументів на околиці точки \ Vec {x} {\,} ^ 0 = (x_1 ^ 0, \; \ ldots, \; x_n ^ 0) . Для будь-якого одиничного вектора \ Vec e = (e_1, \; \ ldots, \; e_n) визначимо похідну функції f ~ в точці \ Vec {x} {\,} ^ 0 за напрямом \ Vec {e} наступним чином:

D_ {\ vec {e}} f (\ vec {x}) = \ frac {\ partial f} {\ partial e} = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (\ vec {x} {\ ,} ^ 0 + h \ cdot \ vec {e})-f (\ vec {x} {\,} ^ 0)} {h}

Значення цього виразу показує, як швидко змінюється значення функції при зсуві аргументу в напрямку вектора \ Vec {e} .

Якщо напрямок сонаправленностью з координатною віссю, то похідна за напрямом збігається з похідної по цій координаті.


Зв'язок з градієнтом

Похідну за напрямом діфференцііруемой за сукупністю змінних функції можна розглядати як проекцію градієнта функції на цей напрямок, або інакше, як скалярний твір градієнта на орт напрямки:

\ Frac {\ partial f} {\ partial e} = \ nabla f \ cdot \ vec {e_0} ,

де \ Vec {e_0} = \ frac {\ vec {e}} {| \ vec {e} |} - Орт напряму. Звідси випливає, що максимальне значення в точці похідна за напрямом приймає, якщо напрямок збігається з напрямком градієнта функцій в даній точці. Також видно, що значення похідної по напрямку не залежить від довжини вектора \ Vec {e} .


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Похідна Лі
Похідна
Похідна функції
Логарифмічна похідна
Похідна Рімана
Коваріантна похідна
Похідна Пеано
Похідна Фреше
Похідна Гато
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru