Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Похідна Лі



План:


Введення

Похідна Лі тензорного поля Q за напрямом векторного поля X - Головна лінійна частина приросту тензорного поля Q при його перетворенні, яке індукувало локальної однопараметричної групою діффеоморфізмов різноманіття, породженою полем X .

Зазвичай позначається \ Mathcal {L} _X Q .


1. Визначення

1.1. Аксіоматичне

Похідна Лі повністю визначається наступними своїми властивостями. Таке визначення найбільш зручно для практичних обчислень, але вимагає доказу існування.

  • Похідна Лі \ Mathcal {L} _X f від скалярного поля f є похідна f за напрямом X .
    \ Mathcal {L} _Xf = Xf.
  • Похідна Лі \ Mathcal {L} _X Y від векторного поля Y є дужка Лі векторних полів.
    \ Mathcal {L} _X Y = [X, Y].
  • Для довільних векторних полів 1-форми α виконується рівність
    (\ Mathcal {L} _X \ alpha) (Y) = (d \ alpha) (X, Y) + Y \ alpha (X).
  • ( правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується
    \ Mathcal {L} _X (S \ otimes T) = (\ mathcal {L} _XS) \ otimes T + S \ otimes (\ mathcal {L} _XT).

1.2. Через потік

Нехай M n - n -Мірне гладке різноманіття і X - Векторне поле на M n .

Розглянемо потік \ Gamma ^ t_X: M \ to M по X , Який визначається співвідношенням: \ Frac {d} {dt} \ Gamma ^ t_X (p) = X_ {\ Gamma ^ t_X (p)}.

Зворотне відображення до диференціалу \ Gamma ^ t_X ,

(D_p \ Gamma ^ t_X) ^ {-1}: T_ {\ Gamma ^ t_X (p)} \ to T_p

однозначно продовжується до гомоморфізму h t алгебри тензорів над T_ {\ Gamma ^ t_X (p)} в алгебру тензорів над T p . Таким чином довільне тензорне поле Q , Однопараметричне сімейство полів Q t = h t (Q) . Похідна Лі може бути визначена як

\ Mathcal {L} _X Q = \ frac {d} {dt} Q_t | _ {t = 0}

2. Вирази в координатах

\ Mathcal {L} _ \ xi f = \ xi ^ k \ partial_k f , Де f - Скаляр.

\ Mathcal {L} _ \ xi y = \ xi ^ k \ partial_k y ^ i - y ^ k \ partial_k \ xi ^ i , Де y - Вектор, а y i - Його компоненти.

\ Mathcal {L} _ \ xi \ omega = \ xi ^ k \ partial_k \ omega_i + \ omega_k \ partial_i \ xi ^ k , Де ω - 1-форма, а ω i - Її компоненти.

\ Mathcal {L} _ \ xi g = \ xi ^ k \ partial_k g_ {ij} + \ partial_i \ xi ^ k g_ {kj} + \ partial_j \ xi ^ k g_ {ik} , Де g - 2-форма (метрика), а g i j - Її компоненти.


3. Похідна Лі для тензорного поля в неголономних репере

Нехай тензорне поле До типу (p, q) задано в неголономних репере {E α} , Тоді його похідна Лі уздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

(\ Mathcal {L} _X K) ^ {(\ alpha )}_{( \ beta)} = XK ^ {(\ alpha )}_{( \ beta)} - \ {K ^ {(\ alpha)} _ {(\ beta)} P ^ * _ * \} ,

де (Α) = (α 1... α p), (β) = (β 1... β q) , І введені наступні позначення:

\ {K ^ {(\ alpha )}_{( \ beta)} P ^ * _ * ,

P ^ \ alpha_ \ beta = e_ \ beta \ xi ^ \ alpha-R ^ \ alpha_ {\ sigma \ beta} \ xi ^ \ sigma

R ^ \ sigma_ {\ alpha \ beta} e_ \ sigma = [e_ \ alpha, e_ \ beta] - Об'єкт неголономних.



4. Властивості

  • \ Mathcal {L} _X (s)\ R -Лінійно по X і по s . Тут s - Довільне тензорне поле.
  • Похідна Лі - диференціювання на кільці тензорних полів.
  • На супералгебре зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
  • Нехай v і u - Векторні поля на різноманітті, тоді
[\ Mathcal {L} _v, \ mathcal {L} _u] = \ mathcal {L} _v \ mathcal {L} _u - \ mathcal {L} _u \ mathcal {L} _v
є диференціювання алгебри C ^ \ infty (M) , Тому існує векторне поле [V, u] , Зване дужкою Лі векторних полів (також їх дужкою Пуассона або комутатор), для якого
\ Mathcal {L} _ {[v, u]} = [\ mathcal {L} _v, \ mathcal {L} _u].
  • Формула гомотопий. \ Mathcal {L} _v = i_v d + d i_v . Тут i v - Оператор внутрішнього диференціювання форм. ( (I_v \ omega) (X_1, \ dots, X_ {k-1}) = \ omega (v, X_1, \ dots, X_ {k-1} )
  • Як наслідок, \ Mathcal {L} _X d \ omega = d \ mathcal {L} _X \ omega, \; \ omega \ in \ Lambda ^ * (M)
  • \ Mathcal {L} _X (s) = \ mathop {vpr} _F (Ts \ circ X - X ^ F \ circ s) . Тут s - Гладке переріз (природного) векторного розшарування F (Наприклад, будь-тензорне поле), X F - Підняття векторного поля X на F , \ Mathop {vpr} _F - Оператор вертикального проектування на F . ( Див. далі)

5. Фізичний зміст похідної Лі

Нехай векторне поле V (x, t) є поле швидкостей неінерціальній системи відліку щодо інерціальної системи відліку, тобто в кожній точці простору x в кожен момент часу t визначена швидкість координатних сіток цих систем відносно один одного. Тоді похідна Лі уздовж векторного поля V (x, t) переносить похідну за часом від будь-яких тензорних полів Q (x, t) з неінерціальній системи відліку в інерційну, тим самим визначаючи інваріантну похідну за часом від тензорних полів.


6. Узагальнення

6.1. Природничі розшарування

Нехай F - Природне гладке розшарування, тобто функтор, чинний з категорії гладких многовидів в категорію розшарувань над ними: F \ colon M \ mapsto (F (M), M, \ pi_M), \; \ pi_M \ colon F (M) \ to M . Довільне векторне поле X \ in TM породжує однопараметричної групу діффеморфізмов \ Gamma ^ t: M \ to M , Триваючу за допомогою F на простір розшарування F (M) , Тобто F (\ Gamma ^ t): F (M) \ to F (M) . Похідна цієї групи в нулі дає векторне поле X ^ F \ in TF (M) , Що є продовженням X . Група Ft) також дозволяє визначити похідну Лі по X від довільних перерізів s: M \ to F (M) за такою ж формулою, як і в класичному випадку:

\ Mathcal {L} _X (s) = \ left. \ Frac {d} {dt} \ right | _ {t = 0} F (\ Gamma ^ t) ^ * s = \ left. \ Frac {d} { dt} \ right | _ {t = 0} (F (\ Gamma ^ {-t}) \ circ s \ circ \ Gamma ^ t)
\ Mathcal {L} _X (s) = Ts \ circ X - X ^ F \ circ s

Зазначимо, що в загальному випадку похідна Лі є елементом відповідного вертикального розшарування V F (M) , Тобто ядра відображення T \ pi_M: TF (M) \ to TM , Так як T \ pi_M \ circ \ mathcal {L} _X (s) = 0_M . Якщо F - Векторне розшарування, то існує канонічний ізоморфізм vl: F (M) \ times_M F (M) \ simeq VF (M) . Оператор вертикального проектування vpr_F = \ mathrm {pr} _2 \ circ vl ^ {-1} дозволяє представити похідну Лі як перетин вихідного розшарування:

\ Mathcal {L} _X (s) = \ mathop {vpr} _F (Ts \ circ X - X ^ F \ circ s)

6.2. Похідна Лі за формами

Інше узагальнення засноване на дослідженні супералгебри Лі диференціювання супералгебри зовнішніх форм. Серед усіх таких диференціювання особливо виділяються т. н. алгебраїчні, тобто ті, які дорівнюють 0 на функціях. Будь-яке таке диференціювання має вигляд i K , Де K \ in TM \ otimes \ Lambda ^ * (M) - тангенціальнозначная форма, а оператор внутрішнього диференціювання i K визначається за формулою (\ Omega \ in \ Lambda ^ {p +1} (M))

i_K \ omega = \ mathrm {Alt} (\ omega \ circ (K \ otimes id ^ {\ otimes p}))

Тут Alt - Операція чергування відображення по всім змінним. Похідна Лі по векторнозначной формі K визначається через суперкоммутатор операторів:

\ Mathcal {L} _K = [i_K, d]

Її значення визначається тим, що будь диференціювання D супералгебри Λ * (M) однозначно представимо у вигляді D = \ mathcal {L} _K + i_S , Де K , S - Деякі векторнозначние форми. Крім того, за формулою [\ Mathcal {L} _K, \ mathcal {L} _S] = \ mathcal {L} _ {[K, S]} можна ввести дужку Фроліха-Ніенхойса тангенціальнозначних форм.


Література

  • Ш. Кобаяси, К. Номідзу Основи диференціальної геометрії - 1981 Т. 1. - 344 с.
  • Дубровін Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Сучасна геометрія: Методи і програми - 2-е, перероб .. - М .: Наука, 1986. - Т. 1. - 760 с.
  • Ivan Kolř, Peter W. Michor, Jan Slovk Natural Operations In Differential Geometry - 1-е изд. - Springer, 1993. - 434 с. - ISBN 978-3540562351.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Похідна
Похідна функції
Логарифмічна похідна
Похідна Рімана
Коваріантна похідна
Похідна Пеано
Похідна Фреше
Похідна Гато
Похідна за напрямом
© Усі права захищені
написати до нас