Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Початкові і граничні умови



План:


Введення

У теорії диференціальних рівнянь, початкові і граничні умови - доповнення до основного диференціального рівняння ( звичайному або в приватних похідних), що задає його поведінку в початковий момент часу або на кордоні розглянутій області відповідно.

Зазвичай диференціальне рівняння має не одне рішення, а ціле їх сімейство. Початкові та граничні умови дозволяють вибрати з нього одне, відповідне реального фізичного процесу або явища. У теорії звичайних диференціальних рівнянь доведена теорема існування та єдиності розв'язку задачі з початковою умовою (т. зв. задачі Коші). Для рівнянь в приватних похідних отримані деякі теореми існування та єдиності рішень для певних класів початкових і крайових задач.


1. Термінологія

Іноді до граничних відносять і початкові умови в нестаціонарних задачах, таких як рішення гіперболічних або параболічних рівнянь.

Для стаціонарних задач існує поділ граничних умов на головні і природні.

Головні умови зазвичай мають вигляд u (\ partial \ Omega) = g , Де \ Partial \ Omega - Межа області \ Omega .

Природні умови містять також і похідну рішення по нормалі до кордону.


2. Приклад

Рівняння \ Frac {d ^ 2 y} {dt ^ 2} =-g описує рух тіла в полі земного тяжіння. Йому задовольняє будь квадратична функція виду y (t) =-gt ^ 2/2 + at + b , Де a, b - Довільні числа. Для виділення конкретного закону руху необхідно вказати початкову координату тіла і його швидкість, тобто початкові умови.


3. Коректність постановки граничних умов

Задачі математичної фізики описують реальні фізичні процеси, а тому їх постановка повинна задовольняти наступним природним вимогам:

  1. Рішення повинно існувати в якомусь класі функцій;
  2. Рішення має бути єдиним в якомусь класі функцій;
  3. Рішення повинне безупинно залежати від даних (початкових і граничних умов, вільного члена, коефіцієнтів і т. д.).

Вимога безперервної залежності вирішення обумовлюється тією обставиною, що фізичні дані, як правило, визначаються з експерименту наближено, і тому потрібно бути впевненим у тому, що рішення задачі в рамках обраної математичної моделі не буде істотно залежати від похибки вимірювань. Математично це вимога можна записати, наприклад, так (для незалежності від вільного члена):

Нехай задано два диференціальних рівняння: Lu = F_1, ~ Lu = F_2 з однаковими диференціальними операторами і однаковими граничними умовами, тоді їх рішення будуть безперервно залежати від вільного члена, якщо:

\ Forall \ varepsilon> 0 ~ \ exist \ delta> 0: ~ \ | F_1-F_2 \ | <\ delta \ rightarrow \ | u_1-u_2 \ | <\ varepsilon, ~ u_1, ~ u_2- вирішення відповідних рівнянь.

Безліч функцій, для яких виконуються перераховані вимоги, називається класом коректності. Некоректну постановку граничних умов добре ілюструє приклад Адамара.


Література

Владимиров В.С., Жарінов В.В. Рівняння математичної фізики. - Физматлит, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X

  • А. М. Ахтямов Теорія ідентифікації крайових умов і її застосування. - М.: Физматлит, 2009.
  • А. М. Ахтямов, В. А. Садовничий, Султанаев Я. Т. Обернені задачі Штурма-Ліувілля з нераспадающіеся крайовими умовами. - М.: Изд-во Московського університету, 2009.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Граничні умови для електромагнітного поля
Вищі початкові училища
Стандартні умови
Нормальні і стандартні умови
Умови Коші - Рімана
Умови Каруша - Куна - Таккера
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru