Поєднане простір або подвійне простір - простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.


1. Лінійно-поєднане простір - визначення

Простір всіх лінійних функціоналів, визначених на лінійному просторі E , Також утворює лінійний простір. Це простір називається спряженим до E , Воно звичайно позначається E ^ * .

2. Властивості

  • У конечномерное випадку поєднане простір E ^ * має ту ж розмірність, що і простір E над полем F :
    будь базису \ {E ^ i \} _ {i = 1} ^ n з E можна поставити у відповідність т.зв. двоїстий базис \ {E_i \} _ {i = 1} ^ n з E ^ * , Де функціонал e_i \, - Проектор на вектор \, E ^ i :
    e_i (x) = e_i (\ alpha_1e ^ 1 + \ ldots + \ alpha_ne ^ n) = \ alpha_i, \ quad \ forall x \ in E
  • Якщо простір Eевклідів, тобто на ньому визначено скалярний добуток, то існує канонічний ізоморфізм між E і E ^ * .
  • Якщо простір E Гільбертів, то по теоремі Рісса існує ізоморфізм між E і E ^ * .
  • У конечномерное випадку вірно також, що простір, поєднане до сопряженному E ^ {**} , Збігається з E (Точніше, існує канонічний ізоморфізм між E і E ^ {**} ).

3. Позначення

У конечномерное випадку зазвичай елементи простору E позначають вектором-стовпцем, а елементи E ^ * - Вектором-рядком . В тензорному обчисленні застосовується позначення x ^ k для елементів E (Верхній, або контраваріантний індекс) і x_k для елементів E ^ * (Нижній, або коваріантний індекс).


4. Варіації і узагальнення

  • У функціональному аналізі, під спряженим простором зазвичай розуміють простір неперервних лінійних функціоналів.
  • Термін поєднане простір може мати інше значення для лінійних просторів над полем комплексних чисел : простір \ Bar E , Що збігається з E як речовий лінійний простір, але з іншою структурою множення на комплексні числа:
    {\ Bar c} {\ bar x} = \ overline {cx}
    • При наявності в просторі ермітових метрики (наприклад, в гільбертовому просторі) лінійно-поєднане і комплексно-поєднане простору збігаються.