Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Приватна похідна



В математичному аналізі, приватна похідна - одне з узагальнень поняття похідної на випадок функції декількох змінних.

У явному вигляді приватна похідна функції f визначається наступним чином:

\ Frac {\ partial f} {\ partial x_k} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x_1, \ ldots, x_k + \ Delta x, \ ldots, x_n)-f (x_1, \ ldots , x_k, \ ldots, x_n)} {\ Delta x}.
Графік функції z = x + xy + y . Приватна похідна в точці (1, 1, 3) при постійному y відповідає куту нахилу дотичній прямої, паралельної площині xz.
Перетини графіка, зображеного вище, площиною y = 1

Слід звернути увагу, що позначення \ Frac {\ partial f} {\ partial x} слід розуміти як цілісний символ, на відміну від звичайної похідної функції однієї змінної \ Frac {d f} {d x} , Яку можна уявити, як відношення диференціалів функції і аргументу. Однак, і приватну похідну можна представити як відношення диференціалів, але в цьому випадку необхідно обов'язково вказувати, за якою змінною здійснюється приріст функції: \ Frac {\ partial f} {\ partial x} \ equiv \ frac {d_x f} {dx} , Де d x f - Приватний диференціал функції f по змінній x. Часто нерозуміння факту цілісності символу \ Frac {\ partial f} {\ partial x} є причиною помилок і непорозумінь, як, наприклад, скорочення \ Partial x у виразі \ Frac {\ partial f} {\ partial x} \ frac {\ partial x} {\ partial t} . (Докладніше див Фіхтенгольц, "Курс диференціального й інтегрального числення").

Геометрично, приватна похідна є похідної за напрямом однієї з координатних осей. Приватна похідна функції f в точці \ Vec {x} {\,} ^ 0 = (x_1 ^ 0, \ ldots, x_n ^ 0) по координаті x k дорівнює похідної \ Frac {\ partial f} {\ partial \ vec {e}} за напрямом \ Vec {e} = \ vec {e} {\,} ^ k = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0) , Де одиниця стоїть на k -Му місці.


Приклади

Обсяг конуса залежить від висоти і радіусу підстави

Обсяг V конуса залежить від висоти h і радіуса r, згідно з формулою

V = \ frac {\ pi r ^ 2 h} {3},

Приватна похідна об'єму V щодо радіуса r

\ Frac {\ partial V} {\ partial r} = \ frac {2 \ pi rh} {3},

яка показує швидкість, з якою змінюється обсяг конуса, якщо його радіус змінюється, а його висота залишається незмінною. Приватна похідна щодо h

\ Frac {\ partial V} {\ partial h} = \ frac {\ pi r ^ 2} {3},

яка показує швидкість, з якою змінюється обсяг конуса, якщо його висота змінюється, а його радіус залишається незмінним.

Повна похідна V щодо r і h

\ Frac {\ operatorname dV} {\ operatorname dr} = \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial r} + \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ 2} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial h} \ frac {\ operatorname dh} {\ operatorname dr}

і

\ Frac {\ operatorname dV} {\ operatorname dh} = \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ 2} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial h} + \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ \ frac {\ partial V} {\ partial r} \ frac {\ operatorname dr} {\ operatorname dh}

Різниця між повною та приватної похідною - усунення непрямих залежностей між змінними в останній.

Якщо (з деяких причин) пропорції конуса залишаються незмінними, то висота і радіус знаходяться у фіксованому відношенні k,

k = \ frac {h} {r} = \ frac {\ operatorname dh} {\ operatorname dr}.

Це дає повну похідну щодо r:

\ Frac {\ operatorname dV} {\ operatorname dr} = \ frac {2 \ pi rh} {3} + k \ frac {\ pi r ^ 2} {3}

Рівняння, в які входять приватні похідні, називаються диференціальними рівняннями в приватних похідних і широко відомі в фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Приватна школа
Приватна компанія
Приватна власність
Похідна
Похідна Лі
Коваріантна похідна
Логарифмічна похідна
Похідна Пеано
Похідна Рімана
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru