Прискорення

План:

1 Кінематика точки
2 Прискорення в твердому тілі
3 Прискорення при складному русі
4 Динаміка точки
5 Одиниці вимірювання прискорення

Введення

Прискорення (зазвичай позначається $\ Vec a$ , В теоретичної механіки $\ Vec w$ ) - Похідна швидкості за часом, векторна величина, що показує, наскільки змінюється вектор швидкості точки (тіла) при її русі за одиницю часу (тобто прискорення враховує не тільки зміну величини швидкості, але і її напрямку).

Наприклад, у районі Землі падаюче на Землю тіло, у разі, коли можна знехтувати опором повітря, збільшує свою швидкість приблизно на 9,8 м / с кожну секунду, тобто, його прискорення одно 9,8 м / с .

Одиницею прискорення служить метр в секунду за секунду (m / s ^2, м / с ^2), існує також позасистемна одиниця Гал (Gal), що застосовується в гравіметрії і рівна 1 см / с ^2.

Похідна прискорення за часом, тобто величина, що характеризує швидкість зміни прискорення, називається ривок.

1. Кінематика точки

Вектор прискорення матеріальної точки в будь-який момент часу знаходиться шляхом диференціювання вектора швидкості матеріальної точки по часу:

$\ Vec a = {d \ vec v \ over dt} = {d ^ 2 \ vec r \ over dt ^ 2}$ .

1.1. Прискорення точки при прямолінійному русі

Якщо вектор $\ Vec a$ не змінюється з часом, рух називають рівноприскореному. При рівноприскореному русі справедливі формули:

$\ Vec v (t) = \ vec v_0 + (t - t_0) \ vec a$

$\ Vec r (t) = \ vec r_0 + (t-t_0) \ vec v_0 + {(t-t_0) ^ 2 \ over 2} \ vec a$ .

Окремим випадком рівноприскореного руху є випадок, коли прискорення дорівнює нулю протягом усього часу руху. У цьому випадку швидкість постійна, а рух відбувається по прямолінійній траєкторії (якщо швидкість теж дорівнює нулю, то тіло покоїться), тому такий рух називають прямолінійним і рівномірним.

Рівноприскореного руху точки завжди є плоским, а твердого тіла - плоскопаралельних ( поступальним). (Зворотне, взагалі кажучи, не вірно).

1.2. Прискорення точки при русі по колу

Вектор прискорення

$\ Mathbf a = \ frac {d \ mathbf v} {dt}$

при русі точки по колу можна розкласти на два доданків (компоненти):

$\ Mathbf a = \ mathbf a_ \ tau + \ mathbf a_n \$

Тангенціальне прискорення - $\ Mathbf a_ \ tau$ направлено по дотичній до траєкторії (позначається іноді $\ Mathbf w_ \ tau, \ mathbf u_ \ tau$ і т.д., в залежності від того, якою буквою в даній книзі прийнято позначати прискорення). Є складовою вектора прискорення a. Характеризує зміну швидкості по модулю.

$a_ \ tau = \ frac {d | \ mathbf v |} {dt}$

Доцентрове або Нормальне прискорення $\ Mathbf a_n$ - Виникає (не дорівнює нулю) завжди при русі точки по колу (кінцевого радіусу) (також позначається іноді $\ Mathbf w_ \ tau, \ mathbf u_ \ tau$ ітд). Є складовою вектора прискорення a, перпендикулярній вектору миттєвої швидкості. Вектор нормального прискорення завжди спрямований до центру кола, а модуль дорівнює:

$| \ Vec a | = \ omega ^ 2 r = {v ^ 2 \ over r}$

Кутове прискорення - показує, на скільки змінилася кутова швидкість за одиницю часу, і, за аналогією з лінійним прискоренням, так само:

$\ Vec \ varepsilon = {d \ vec \ omega \ over dt}$

Напрямок вектора тут показує, збільшується або зменшується модуль швидкості. Якщо вектори кутового прискорення і швидкості сонаправлени, значення швидкості зростає, і навпаки.

1.3. Прискорення точки при русі по кривої

Розкладання прискорення по супутньому базису для руху в площині

Вектор прискорення $\ Vec a$ можна розкласти по супутньому базису $\ Left \ {\ vec \ tau, \ vec {n}, \ vec {b} \ right \}$ :

$\ Vec a = {a} _ \ tau {\ vec \ tau} + {a} _n {\ vec n} + {a} _b {\ vec b} = \ frac {dv} {dt} {\ vec \ tau } + \ frac {v ^ 2} {R} {\ vec n} + {a} _b {\ vec b}$ ,

де

$v \$ - величина швидкості,
${\ Vec \ tau}$ - Одиничний дотичний до траєкторії вектор, спрямований вздовж швидкості (дотичний орт),
${\ Vec n}$ - Орт головній нормалі до траєкторії, який можна визначити як одиничний вектор у напрямку $d \ vec \ tau / d l$ ,
${\ Vec b}$ - Орт бинормали до траєкторії,
R - радіус кривизни траєкторії.

${A} _b {\ vec b}$ , Зване бинормального прискоренням, завжди дорівнює нулю. Це можна вважати прямим наслідком визначення векторів $\ Vec n, \ vec b$ : Можна сказати, що вони вибираються саме так, щоб перший завжди збігався з нормальним прискоренням, другий же ортогонально першому.

Вектори ${A} _ \ tau {\ vec \ tau}$ і ${A} _n {\ vec n}$ називаються дотичним ( тангенціальним) і нормальним прискореннями відповідно.

Отже, враховуючи сказане вище, вектор прискорення завжди можна записати як:

$\ Vec a = {a} _ \ tau {\ vec \ tau} + {a} _n {\ vec n} = \ frac {dv} {dt} {\ vec \ tau} + \ frac {v ^ 2} { R} {\ vec n}$ ,

2. Прискорення в твердому тілі

Зв'язок прискорень двох точок можна отримати, продифференцировав формулу Ейлера для швидкостей по часу:

$\ Vec {w} _B = \ vec {w} _A + \ left [\ vec {\ omega}, \ left [\ vec {\ omega}, \ vec {AB} \ right] \ right] + \ left [\ varepsilon, \ vec {AB} \ right]$ ,

де $\ Vec {\ omega}$ - Вектор кутової швидкості тіла, а $\ Vec {\ varepsilon}$ - Вектор кутового прискорення тіла.

Другий доданок називається осестремітельним прискоренням.

3. Прискорення при складному русі

Абсолютна прискорення дорівнює сумі відносного, переносного і коріолісова :

$\ Vec a_a = \ vec {a} _r + \ vec {a} _e + 2 \ left [\ vec \ omega \ times \ vec {v} _r \ right]$ .

4. Динаміка точки

Перший закон Ньютона постулює існування інерціальних систем відліку. У цих системах відліку рівномірний прямолінійний рух має місце в тому випадку, коли тіло ( матеріальна точка) не піддається ніяким зовнішнім впливам у процесі свого руху. На основі цього закону виникає ключове для механіки поняття сили як такого зовнішнього впливу на тіло, яке виводить його зі стану спокою або впливає на швидкість його руху. Таким чином, підтверджується, що причиною виникнення ненульового прискорення в інерціальній системі відліку завжди є деяка зовнішня силовий вплив.

Другий закон Ньютона стверджує, що прикладена (до точки) сила і породжене їй прискорення точки завжди пропорційні, причому коефіцієнт пропорційності завжди один і той же незалежно від виду силового впливу (він називається масою матеріальної точки):

$\ Vec F = m \ vec a.$

5. Одиниці вимірювання прискорення

метр на секунду в квадраті (метр в секунду за секунду), м / с , похідна одиниця системи СІ
сантиметр на секунду в квадраті (сантиметр на секунду), см / с , похідна одиниця системи СГС