Просте кільце (алгебра)

Просте кільце - кільце R , При якому R ^ 2 \ neq \ {0 \} і R не має двосторонніх ідеалів, відмінних від R і \ {0 \} .


Приклади і теореми

  • Розглянемо кільце R таке, що R ^ 2 \ neq \ {0 \} , І адитивна група \ Langle R, + \ rangle має простий порядок. Тоді кільце R - Просте, так як в \ Langle R, + \ rangle немає власних підгруп.
  • Будь поле є простим кільцем, так як в полі немає власних ідеалів.
  • Асоціативне коммутативное кільце R з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли R просте кільце.
  • Якщо P - Поле, n - Позитивне ціле число, то кільце матриць \ Mathrm {Mat} (P, n) - Просте.

Теорема Веддерберна - Артін

Нехай R - Просте Артинова кільце. Тоді кільце R ізоморфно кільцю всіх матриць порядку n над деякими тілом. При цьому n визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Назад, для будь-якого тіла D кільце \ Mathrm {Mat} (D, n) є простим Артинова кільцем.


Література

  • Херстейн І. некомутативних кільця. - М.: Мир, 1972.
  • Джекобсон Н. Будова кілець. - М.: Видавництво іноземної літератури, 1961.
  • Глухов М. М., Єлізаров В. П., Нечаєв А. А. Алгебра: Підручник. У 2-х т. Т. 2. - М.: Геліос АРВ, 2003.