Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Пряма сума



План:


Введення

Символ \ Oplus \! означає взяття прямий суми; це також символ Землі в астрономії та астрології і символ операції виключає "або".

Пряма сума - похідний математичний об'єкт, який створюється за певними правилами нижче з базових об'єктів. Як базові найчастіше виступають векторні простору або абелеві групи. Існує також узагальнення даної конструкції для банахових і гільбертовому просторі.


1. Пряма сума підпросторів

Кажуть, що лінійний простір X є пряма сума своїх підпросторів M_1, \ dots, M_n :

X = M_1 \ oplus \ dots \ oplus M_n,

якщо кожен вектор x \ in X представляється у вигляді суми

x = m_1 + \ dots + m_n, \ quad m_i \ in M_i, \ quad (*)

і до того ж єдиним чином.


1.1. Коментар

Остання умова ("єдиним чином") досить суттєво, без нього виходить просто визначення суми підпросторів (позначається X = M_1 + \ dots + M_n ). З визначення лінійного простору випливає, що умова єдиності розкладання (*) для кожного вектора x \ in X рівносильно умові єдиності розкладання (*) тільки для нульового вектора (для x = 0 в сумі (*) усі складові m i = 0 ).


1.2. Критерії прямий суми

  • Кожен вектор x \ in X розкладається в суму (*), причому \ Dim X = \ dim M_1 + \ ldots + \ dim M_n (Якщо X скiнченновимiр-)
  • Будь-яка система з m \ leqslant n ненульових векторів, що належать різним підпростору, лінійно незалежна.
  • Перетин кожного з підпросторів M i із сумою інших є нульове простір (простір, що складається тільки з нульового вектора).
  • Якщо лінійний простір X має базисом, то об'єднання базисів підпросторів M_i \; (i = 1, \ dots, n ) Є базис в X .
  • Кожен елемент f гильбертова простору X може бути представлений у вигляді (*), причому якщо число підпросторів n нескінченно, то \ Sum \ limits_n {\ left \ | {m_n} \ right \ | ^ 2} - Сходиться ряд.
  • Нехай Гільбертів простір X розкладається в пряму суму X = M \ oplus N , Тоді поєднане простір X * також розпадається в пряму суму X ^ *= M ^ * \ oplus N ^ * , Причому \ Forall f \ in M ​​^ *, f (N) = 0 і \ Forall \ phi \ in N ^ *, \ phi (M) = 0 .

1.3. Приклади

  • Тривимірне лінійний простір є прямою сумою площині і будь-якої прямої, не лежить у цій площині, але перетинає її, а також прямий сумою будь-яких трьох попарно різних, не паралельних прямих. Тривимірне лінійний простір є сумою двох незбіжних площин, але не є їх прямий сумою, так як перетин площин дає пряму (нульовий вектор може бути представлений нескінченним числом способів: 0 = m 1 + m 2 , Де m 1 і m 2 - Протилежні вектори на цій прямій).
  • Простір многочленів ступеня n (Від будь-якого числа змінних) представимо у вигляді прямої суми M_0 \ oplus M_1 \ oplus \ cdots \ oplus M_n, де M i - Підпростір однорідних многочленів ступеня n . Якщо у визначенні M i прибрати умова однорідності, то сума перестане бути прямою.

2. Пряма сума просторів

Поняття прямого суми X = M_1 \ oplus \ dots \ oplus M_n поширюється на випадок, коли M_1, \ dots, M_n спочатку не є підпросторами якого-небудь одного осяжний лінійного простору.

Визначимо X як декартовій твір X = M_1 \ times \ dots \ times M_n і визначимо в ньому операції лінійного простору за допомогою формул

(X_1, \ ldots, x_n) + (y_1, \ ldots, y_n) = (x_1 + y_1, \ ldots, x_n + y_n), \ quad \ alpha (x_1, \ ldots, x_n) = (\ alpha x_1, \ ldots, \ alpha x_n), \ quad x_i, y_i \ in M_i.

Тоді X є лінійним простором, що містить підпростору M_1, \ dots, M_n. Згідно побудови, кожен вектор x \ in X однозначно подамо у вигляді x = m_1 + \ dots + m_n,m_i \ in M_i, отже, X = M_1 \ oplus \ dots \ oplus M_n.


3. Пряма сума абелевих груп

Література

  • Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри, - М.: Наука, 1971.
  • Тадея Д. К. Лекції з алгебри, - М.: Наука, 1984.
  • Кострикін А. І., Манін Ю. І. Лінійна алгебра і геометрія, - М.: Наука, 1986.
  • Шафаревич І. Р., Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Физматлит, Москва, 2009.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сума
Сума
Сума теології
Сума Минковского
Сума ряду
Статистична сума
Зв'язкова сума
Сума (математика)
Сума технології
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru